7класс. 1* представьте в виде произведения: а) 16m^6y^2 -9m^4 b) 9x^8y^4 - 100z^2 c) 0,81p^6q^4 - 0,01x^2 2 * разложите на множители: a)64-y^4 б) x^2-c^6 в) a^4-b^8 г) 25m^6-n д)1-49p^10 е) 4y^6-9a^4 ё) 64-a^4b^4 ж) 16b^2c^12 -0, 25 з) 81x^6y^2 - 0,36a^2 3

👇

Ответ:

yoohbabe

02.12.2021

в задании 2г пропущен показатель степени n, а в заданиях 1с и 2з - лишние показатели - вынуждена придумать сама и удалить.

1. а) 16m⁶y² - 9m⁴ = (4m³y)² - (3m²)² = (4m³y - 3m²)(4m³y + 3m²)

b) 9x⁸y⁴ - 100z² = (3x⁴y²)² - (10z)² = (3x⁴y² - 10z)(3x⁴y² + 10z)

c) 0,81p⁶q⁴ - 0,01x² = (0,9p³q²)² - (0,1x)² = (0,9p³q² - 0,1x)(0,9p³q² + 0,1x)

a) 64 - y⁴ = 8² - (y²)² = (8 - y²)(8 + y²)

б) x² - c⁶ = х² - (с³)² = (х - с³)(х + с³)

в) a⁴ - b⁸ = (а²)² - (b⁴)² = (a² - b⁴)(a² + b⁴) = (a - b²)(a + b²)(a² + b⁴)

г) 25m⁶ - n² = (5m³)² - n² = (5m³ - n)(5m³ + n)

д) 1 - 49p¹⁰ = 1² - (7p⁵)² = (1 - 7p⁵)(1 + 7p⁵)

е) 4y⁶ - 9a⁴ = (2y³)² - (3a²)² = (2y³ - 3a²)(2y³ + 3a²)

ё) 64 - a⁴b⁴ = 8² - (a²b²)² = (8 - a²b²)(8 + a²b²)

ж) 16b²c¹² - 0,25 = (4bc⁶)² - (0,5)² = (4bc⁶ - 0,5)(4bc⁶ + 0,5)

з) 81x⁶y² - 0,36a² = (9x³y)² - (0,6a)² = (9x³y - 0,6a)(9x³y + 0,6a)

4,8(14 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

beeilne434gmailcom

02.12.2021

Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
$y'=- \dfrac{y}{x}$ - уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
$\dfrac{dy}{dx} =- \dfrac{y}{x} \\ \\ \dfrac{dy}{y} =- \dfrac{dx}{x}$
Интегрируя обе части уравнения, получаем
$\ln|y|=\ln| \frac{1}{x} |+\ln C\\ \\ \ln|y|=\ln| \frac{C}{x}|$
$y= \dfrac{C}{x}$ - общее решение

$(1-x^2) \frac{dx}{dy} +xy=0\\ \\ (1-x^2) \frac{dx}{dy} =-xy$
Разделяем переменные
$\dfrac{(x^2-1)dx}{x} = ydy$

интегрируя обе части уравнения, получаем

$-\ln|x|+ \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{y^2}{2} +C$ - общий интеграл

Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует

Пример 3. $x^2+y^2-2xy\cdot y'=0$
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
$(\lambda x)^2+(\lambda y)^2-2\cdot\lambda x\cdot \lambda y\cdot y'=0 |:\lambda^2\\ \\ x^2+y^2-2xyy'=0$

Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену
y=ux

, тогда

Подставляем в исходное уравнение

$x^2+u^2x^2-2x\cdot ux(u'x+u)=0\\ \\ x^2(1+u^2-2uu'x-2u^2)=0\\ \\ x=0\\ \\ 1-u^2-2uu'x=0\\ \\ u'= \dfrac{1-u^2}{2ux}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

Воспользуемся определением дифференциала

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{1-u^2}{2ux}$

Разделяем переменные

$\dfrac{du^2}{1-u^2} = \dfrac{dx}{x}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\ln\bigg| \dfrac{1}{1-u^2} \bigg|=\ln|Cx|$

$\dfrac{1}{1-u^2} =Cx$

Обратная замена

$\dfrac{x^2}{x^2-y^2} =Cx$ - общий интеграл

Пример 4. y''-4y'+4=0

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть $y'=e^{kx}$ , тогда будем иметь характеристическое уравнение следующего вида:
$k^2-4k+4=0\\ (k-2)^2=0\\ k_{1,2}=2$

Тогда общее решение будет иметь вид:

$y=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$ - общее решение

Пример 5. y''+4y'-5y=0

Аналогично с примером 4)
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем
$k^2+4k-5=0\\ (k+2)^2-9=0\\ \\ k+2=\pm 3\\ k_1=1\\ k_2=-5$

Общее решение: $y=C_1e^{x}+C_2e^{-5x}$

Найдем производную функции
$y'=C_1e^x-5C_2e^{-5x}$

Подставим начальные условия

$\displaystyle \left \{ {{4=C_1+C_2} \atop {2=C_1-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1=4-C_2} \atop {2=4-C_2-5C_2}} \right. \to \left \{ {{C_1= \frac{11}{3} } \atop {C_2=\frac{1}{3} }} \right.$

$y=\frac{11}{3} e^x+\frac{1}{3} e^{-5x}$ - частное решение

4,4(9 оценок)

Ответ:

katyaaalovely

02.12.2021

Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;

б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .

Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3

* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень

k₁,₂ = - (8/2) ± 3

k₁ = -4 - 3 = - 7 ;

k₂ = - 4 + 3 = -1 .

Получены два различных действительных корня

Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .

* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *

Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .

y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;

y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)

y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .

- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:

{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;

{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .

* * *методом сложения * * *

Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение

ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.

- - - - - - -

б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x

k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )

k₁ = 2 ;

k₂ = 4 .

y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части

Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)

8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x

2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)

y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)

ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||

y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .

a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;

е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒

a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *