Question

Решить уравнение: (2x+3)^(1/3)+(x+1)^(1/3)=1 (решаю уже полчаса, нашла какой-то левый корень (-2) и не знаю, как он появился и как его отсеять) заранее

Answer 1

$\sqrt[3]{2 x + 3} + \sqrt[3]{x + 1} = 1$
Введем замену
x+1=y , тогда
2x+3=2(х+1)+1=2y+1
$\sqrt[3]{2 y + 1} + \sqrt[3]{y} = 1$
Нетрудно видеть, что
y=0 является корнем этого уравнения
Откуда х+1=0 или х= -1

Функция
$f1(y) = \sqrt[3]{2 y + 1}$
и функция
$f2(y) = \sqrt[3]{y }$
обе являются непрерывными возрастающими, и их сумма
f1(y)+f2(y) тоже возрастающая функция,

а f(y) =1 постоянная
Поэтому
Уравнение f1(y)+f2(y)=1

имеет лишь один корень

(см также график)

f(y)=f1(y)+f2(y) - синий график,
f(y)=1 - красный

ответ: х=-1