task/29465133
√3sinx + cosx = 2
* * * методом вс угла: asinx + bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ) , где
φ= arctg(b/a) || a =√3 ; b =1 ; √(a²+b²)= 2 ; φ= arctg(1/√3)=π/6 || * * *
но уравнение проще √3sinx + cosx = 2 ⇔ √3)/2 *sinx +(1/2)* cosx =1 ⇔
sinx*cos(π/6) +cosx*sin(π/6) =1 ⇔ sin(x +π/6) =1 ⇔x+π/6=π/2+2πn , n∈ ℤ .⇔
ответ : x =π/3+2πn , n∈ ℤ.
как не надо решать ( однородное уравнение)
* * * sin²α+cos²α=1 ; sin2α=2sinαcosα ; cos2α= cos²α - sin²α ; x =2*(x/2) * * *
√3sinx +cosx=2⇔2√3sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)=2cos²(x/2)+2sin²(x/2)
⇔ 3sin²(x/2) -2√3sin(x/2)cos(x/2 +cos²(x/2) =0 || : cos²(x/2) ≠ 0
3tg²(x/2) - 2√3tg(x/2) +1 =0 кв. уравнение относительно tg(x/2) = t
D₁ =(√3)²-3*1=0 кратный корень
tg(x/2) = (√3)/3 * * * x /2 =arctg[(√3)/3] +πn , n ∈ ℤ * * *
tgx =tg[2*(x/2) ] = 2tg(x/2) / [ 1 - tg²(x/2) ] = √3 .
x = π / 3+ πn , n ∈ ℤ. откуда появился второй корень
давайте покажу два примера:
для решения задания нам для начала нужно знать теорему Виета
она выглядит вот так:
если наше квадратное уравнение выглядит так x² + px + q = 0, то
x1 + x2 = -p
x1 · x2 = q
судя по первому примеру -1+3=2
-1*3=-3
тогда наше уравнение будет выглядеть так х^2+2x-3=0
следущий пример точно также: -0,2+(-0,3)=-0,5
-0,2*(-0,3)=0,06
а уравнение-x^2-0.5x+0.06=0
Желаю удачи!
