|x-1|>|x+2|-3 |x-1|-|x+2|>-3 Раскроем модули. Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки,в которых подмодульные выражения меняют знак: x-1=0 x+2=0 x=1 x=-2 Нанесем эти значения Х на числовую прямую:
(-2)(1)
Мы получили три промежутка.Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
(-2)(1) x-1 - - + x+2 - + +
Раскроем модули на каждом промежутке: 1)x<-2 На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны,поэтому раскрываем модули с противоположным знаком: -x+1+x+2>-3 3>-3 - неравенство верное при любых Х на промежутке x<-2
2) -2<=x<1 На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательное(его мы раскроем с противоположным знаком),а второе - положительное, и его мы раскроем с тем же знаком: -x+1-x-2>-3 -2x-1>-3 -2x>1-3 -2x>-2 x<1 С учетом промежутка -2<=x<1 получаем x e [-2;1)
3)x>=1 На этом промежутке оба подмодульных выражения положительные, поэтому раскрываем их без смены знака: x-1-x-2>-3 -3>-3 Неравенство не имеет решений на этом промежутке Соединим решения 1 и 2 промежутков и получим такой ответ: x e(-беск.,1)
a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b
Преобразуем данное неравенство к виду
(a³ + b³)/a²b² ≥ (a + b)/ab
ab(a³ + b³) ≥ a²b²(a + b)
Сокращая на ab, получаем
(a³ + b³) ≥ ab(a + b)
Как известно, сумма кубов двух чисел равна
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Подставляя в последнее неравенство, имеем
(a + b)(a² -ab + b²) ≥ ab(a + b)
Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем
a² - ab + b² ≥ ab
a² - ab +b² - ab ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
(a - b)² ≥ 0, что является верным неравенством.
Что и требовалось доказать.