При этом заметим, что если n четное, то произведение n(n^2 + 1) делится на 10, а если n нечетное, то n^2 + 1 четное, и при этом оно же делится на 5, то есть оно делится на 10.
3) Таким образом, мы доказали, что либо n^3 - n = n(n-1)(n+1),
First, we'll try to plug in the value: #lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x) = -oo + sqrt(oo-oo)# We're already encountering a problem: it is simply not allowed to have #oo-oo#, it's like dividing by zero. We need to try a different approach. Whenever I see this kind of limit, I try to use a trick: #lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)# #= lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)*(x-sqrt(x^2+2x))/(x-sqrt(x^2+2x))# These are the same becaus the factor we're multiplying with is essentially #1#. Why are we doing this? Because there exists a formula which says: #(a-b)(a+b) = a^2-b^2# In this case #a = x# and #b = sqrt(x^2+2x)# Let's apply this formula: #lim_{x to -oo}(x^2-(sqrt(x^2+2x))^2)/(x-sqrt(x^2+2x))# #= lim_{x to -oo}(x^2-x^2-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))# #= lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))# Now we're going to use another trick. We'r going to use this one, because we want to get the #x^2# out of the square root: #lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2(1+2/x))# If you look carefully, you see it's the same thing. Now, you might say that #sqrt(x^2) = x#, but you have to remember that #x# is a negative number. Because we're taking the positive square root, #sqrt(x^2) = -x# in this case. #= lim_{x to -oo}(-2x)/(x+xsqrt(1+2/x))# #= lim_{x to -oo}(-2x)/(x(1+sqrt(1+2/x)))# We can cancel the #x#: #= lim_{x to -oo}(-2)/(1+sqrt(1+2/x))# And now, we can finally plug in the value: #= -2/(1+sqrt(1+2/-oo))# A number divided by infinity, is always #0#: #= -2/(1+sqrt(1+0)) = -2/(1+1) = -2/2 = -1# This is the final answer. Hope it helps.
В итоге, мы получили произведение трёх подряд идущих чисел, среди которых обязательно найдётся хотя бы одно чётное число и число делящееся на три. Следовательно, произведение трёх подряд идущих чисел будет кратно 6. Т.к. итоговое произведение получено из исходного многочлена путём равносильных преобразований, то делаем вывод: многочлен а³+3а²+2а кратен числу 6.
Объяснение:
1) n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)
Это произведение трех последовательных чисел.
Хотя бы одно из этих чисел четное. Если какое-то из чисел делится на 5, то произведение делится на 10.
2) Пусть ни одно из чисел n-1, n, n+1 не делится на 5. Тогда n при делении на 5 может давать остаток 2 или 3, то есть n = 5k+2 или n = 5k+3.
Разложим n^3 + n = n(n^2 + 1)
Найдем n^2 + 1 для обоих этих случаев.
a) n = 5k + 2
n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5
b) n = 5k + 3
n^2 + 1 = (5k+3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10
В обоих случаях число n^2 + 1 делится на 5.
При этом заметим, что если n четное, то произведение n(n^2 + 1) делится на 10, а если n нечетное, то n^2 + 1 четное, и при этом оно же делится на 5, то есть оно делится на 10.
3) Таким образом, мы доказали, что либо n^3 - n = n(n-1)(n+1),
либо n^3 + n = n(n^2 + 1) делится на 10.