Question

Вычислить с точностью до 0,001 интеграл от 0 до 1 cosx^2dx

Answer 1

Этот интеграл "не берётся", то есть первообразные от функции cosx² не выражаются через элементарные функции. Тем не менее определенный интеграл на заданном отрезке вполне можно вычислить. Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, почленно проинтегрируем и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$cos\alpha =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +...+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+... \\\int\limits^1_0 {cosx^2} \, dx =\int\limits^1_0 {(1-\frac{x^4}{2!} +\frac{x^8}{4!} -\frac{x^{12}}{6!} +...)} \, dx=x-\frac{x^5}{5*2!} +\frac{x^9}{9*4!} -\frac{x^{13}}{13*6!} +...|_0^1=\\=1-0.1+0.005-0.0001+... \approx 1-0.1+0.005=0.905$

Мы отбросили члены ряда начиная с -0.0001, |-0.0001|<0.001, поэтому требуемая точность достигается.