Вот накалякал. Разбирайся :)
xy/(x+y) = 5
xz/(x+z) = 7
yz/(y+z) = 9
xy = 5x + 5y
xz = 7x + 7z
yz = 9y + 9z
x(y-5) = 5y
x = 5y/(y-5)
5yz/(y-5) = 35y/(y-5) + 7z
5yz = 35y + 7z * (y-5)
5yz = 35y + 7yz - 35z
2yz + 35y = 35z
y(2z + 35) = 35z
y = 35z/(2z + 35) = z/(2z/35 + 1)
35z^2/(2z + 35) = 315z/(2z + 35) + 9z
35z^2 = 315z + 9z*(2z + 35)
35z^2 = 315z + 18z^2 + 315z
17z^2 = 630z
z=630/17
y = 35*630/(2*630/17 + 35)/17 = 35*630/(1260 + 595) = 22050/1855 = 630 / 53
x = 5*630/(630/53 - 5)/53 = 5*630/((630/53 - 5)*53) = 5*630/365 = 630/73
Разность катетов - 34.
Пусть один из катетов х. Тогда другой х - 34.
Тогда по теореме Пифагора:
(х - 34)² + х² = 106²
х² - 2 * 34х + 1156 + х² - 11236 = 0
2х² - 2 * 34х - 10080 = 0
Разделим всё на 2:
х² - 34х - 5040 = 0
D = 34² + 4 * 5040 = 1156 + 20160 = 21316 = 146² > 0 ⇒ 2 корня
х1 = (34 + 146) / 2 = 180 / 2 = 90
х2 = (34 - 146) / 2 < 0
(не подходит, длина катета не может быть меньше нуля)
⇒ Один из катетов х = 90,
второй соответственно х - 34 ⇒ 90 - 34 ⇒ 56
S п/у т. = ab / 2
S п/у т. = (90 * 56) / 2 = 5040 / 2 = 2520 см²
ответ: S = 2520 см²