Рассмотрим последние цифры степеней чисел 3 и 7 (очевидно, степени чисел 33 и 77 оканчиваются на те же цифры; в таблице последняя цифра числа x обозначена как x mod 10):
Дальше таблицу можно не продолжать: поскольку последняя цифра степени определяется только последней цифрой предыдущей степени, то дальше всё будет повторяться: например, для степеней тройки дальше идут 3, 9, 7, 1, 3, 9, ... Таким образом, последовательность последних цифр степеней тройки и семёрки является периодической с периодом 4, то есть прибавление любого количества четвёрок к показателю степени последнюю цифру не меняет.
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 3. 
, поэтому 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 7. Значит, сумма 
оканчивается на ту же цифру, что и 
, то есть на 0. Искомый остаток равен нулю.
ответ. 0
Петр Андреевич Гринев – молодой офицер, происходящий из знатного военного рода. Службу проходит в Белогорской крепости.
Алексей Швабрин – не отличающийся примерным поведением солдат, переведенный из-за дуэли в Белогорскую крепость.
Волею судьбы Гринев и Швабрин столкнулись в Белогорской крепости. Автор подчеркивает некую схожесть характеров молодых людей. Но что же тогда помешало им стать друзьями и вместе преодолевать все тягости военной службы? По-моему, причина – в воспитании. Петр Андреевич никогда не испытывал одиночества, ни в чем не нуждался, ему повезло с родителями. Швабрин же, напротив, с раннего возраста был лишен родительской ласки и заботы. Он не знал, что значит детское счастье, детский смех, но зато отлично понимал, что такое слезы и горе. Детство обеих героев имело огромное влияние на формирование их характера, совести и морали. Гринев стал добрым, смелым, отзывчивым и надежным, а Алексей – типичным карьеристом, лживым, циничным, коварным. Эти качества своих персонажей Пушкин открывает читателям не сразу, а постепенно, заставляя нас анализировать каждый поступок молодых людей.