1) f(x) =x⁴ + 4·sin²x·cos²x - чётная функция
2) f(x) =x⁴ + 4·sin²x·cos²x - нечётная функция
Объяснение:
Определение. Функция f(x), x∈X, называется чётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство: f(–x) = f(x).
Определение. Функция f(x), x∈X, называется нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство: f(–x) =–f(x).
Известно, что функция:
sinx – нечётная, cosx - чётная, tgx – нечётная, ctgx – нечётная.
Решение.
1) Функция f(x) =x⁴ + 4·sin²x·cos²x определена при всех x∈R. Проверим по определению при x∈R:
f(–x) = (–x)⁴ +4·sin²(–x)·cos²(–x) = x⁴ +4·(–sinx)²·cos²x =
= x⁴ +4·sin²x·cos²x = f(x), то есть f(–x) = f(x) и функция – чётная;
2) Функция f(x) = (tgx – ctgx)/cosx определена при всех x∈X=R\{πn, π/2+πk, n∈Z, k∈Z}. Проверим по определению при x∈X:
f(–x) = (tg(–x) – ctg(–x))/cos(–x) = (–tgx –(–ctgx))/cosx =
= –(tgx – ctgx)/cosx = –f(x), то есть f(–x) = –f(x) и функция – нечётная.
функцию можно записать так: y = (1 / 3)x - 4x^(- 2) + √x.
воспользовавшись формулами:
(x^n)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции).
(√x)’ = 1 / 2√x (производная основной элементарной функции).
(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).
(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).
таким образом, производная нашей функции будет следующая:
y' = (x / 3 – 4 /x ^2 + √x)’ = ((1 / 3)x - 4x^(- 2) + √x)’ = ((1 / 3)x)’ – (4x^(- 2))’ + (√x)’ = (1 / 3 ) – (4 * (- 2) * x^(- 2 - 1)) + (1 / 2√x) = (1 / 3 ) + 8x^(- 3)) + (1 / 2√x) = (1 / 3 ) + (8 / x^3) + (1 / 2√x).
ответ: y' = (1 / 3 ) + (8 / x^3) + (1 / 2√x).
Такой будет