Разложим знаменатель на множители:
Сумма коэффициентов равна нулю, значит корни уравнения 1 и -1/3.
Интеграл примет вид:
Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на составляющие:
Дроби равны, знаменатели равны, значит равны и числители:
Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях. Составим систему:
Выразим из второго уравнения А:
Подставляем в первое и находим В:
Находим А:
Сумма принимает вид:
Значит, интеграл примет вид:
Для второго слагаемого выполним приведение под знак дифференциала:
Интегрируем:
Упрощаем:
Применим свойство логарифмов:
ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p.
ответ: при любых значениях p.
2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x).
y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1
Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x).
f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³.
Нули числителя: t=∛2
Нули знаменателя: t=0.
Расположим эти точки на числовой прямой.
f'>0 f'>0 f'<0 f'<0 f'>0
-1 0 1 ∛2 >
f ↑ ↑ ↓ ↓ ↑
На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1.
При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf).
y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4.
ответ: при p<=4.