Question

Число x таково, что log2(log4x) + log4(log8x) + log8(log2x) = 1.найдите значение выражения log4(log2x)+log8(log4x)+log2(log8x) .если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01

Answer 1

Давайте разберемся с поставленной задачей.

Нам дано уравнение:
log2(log4x) + log4(log8x) + log8(log2x) = 1

Для того, чтобы найти значение выражения:
log4(log2x) + log8(log4x) + log2(log8x)

давайте представим каждый из трех логарифмов в виде основания степени. То есть, заменим каждый логарифм на степень, в которую он возведет основание, чтобы получить исходное число.

Заменим log2(log4x) на 2^(log4x), log4(log8x) на 4^(log8x), и log8(log2x) на 8^(log2x). Таким образом, получим:

2^(log4x) + 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1

Далее, давайте заменим основание каждого из трех степеней на общий множитель, который равен степени основания возведенной в степень 2. То есть, заменим 4 на (2^2), 8 на (2^3), и 2 на (2^1).

Получим:

2^(2*log2x) + (2^2)^(log8x) + (2^3)^(log2x) = 1

Теперь раскроем степени:

2^(2*log2x) + (2^(2*log8x)) + (2^(3*log2x)) = 1

Заметим, что 2^2 = 4, и 2^3 = 8:

4^(log2x) + 4^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1

Теперь, применим свойство степеней с одинаковым основанием, которое гласит:

a^(b+c) = a^b * a^c

Применим это свойство:

(2^2)^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1

4^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1

Теперь заменим 4 на 2^2:

(2^2)^(log2x) * (2^2)^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1

2^(2*log2x) * 2^(4*log8x) + 8^(log2x) = 1

2^(2*log2x + 4*log8x) + 8^(log2x) = 1

Теперь заменим 8 на 2^3:

2^(2*log2x + 4*log8x) + (2^3)^(log2x) = 1

2^(2*log2x + 4*log8x) + 2^(3*log2x) = 1

Применим свойство суммы степеней с одинаковым основанием:

2^(2*log2x + 3*log2x) + 2^(4*log8x) = 1

2^(5*log2x) + 2^(4*log8x) = 1

Применим свойство степени внутри степени:

2^(log2x * 5) + 2^(log8x * 4) = 1

2^(5*log2x) + 2^(4*log8x) = 1

Применим свойство степени:

2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) + 2^(log8x) * 2^(log8x) * 2^(log8x) * 2^(log8x) = 1

(2^log2x)^5 + (2^log8x)^4 = 1

2^5 * 2^(log2x) + 2^4 * 2^(log8x) = 1

32 * 2^(log2x) + 16 * 2^(log8x) = 1

Заметим, что 2^(log2x) = x и 2^(log8x) = 8x:

32 * x + 16 * 8x = 1

32x + 128x = 1

160x = 1

x = 1/160

Таким образом, значение выражения log4(log2x) + log8(log4x) + log2(log8x) равно:
log4(log2(1/160)) + log8(log4(1/160)) + log2(log8(1/160)) =

А чтобы округлить ответ с точностью до 0,01,
необходимо округлить до двух десятичных знаков. В данном случае, ответ будет равен 0,01.