Question

Докажите, что при любом натуральном a значение выражения a^5-5a^3+4a кратно 120. подробное решение,

Answer 1

${a}^{5} - 5 {a}^{3} + 4a = a( {a}^{4} - 5 {a}^{2} + 4) \\$
разложим трехчлен в скобках на множители
${a}^{4} - 5 {a}^{2} + 4 = \\ ( {a}^{2} - 4)( {a}^{2} - 1) = \\ (a - 2)(a + 2)(a - 1)(a + 1)$
разложим 120 на множители
120=2×2×23×5
итак, многочлен разложили на множители
${a}^{5} - 5 {a}^{3} + 4a = \\ a(a - 2)(a + 2)(a - 1)(a + 1)$
по условию значение а натуральное, значит минимальное значение, которое может принимать а равно 3, иначе при подстановке множители принимают целые значения, а не натуральные.
тогда, если а=3, получим
3(3-2)(3+2)(3-1)(3+1)=120
а=4
4(4-2)(4+2)(4-1)(4+1)=720, кратно 120
и тд. при любом а, будет получаться число, кратное 120