чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1.
если наибольшее значение функции не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. значит нужно найти при каких значениях a есть корни у уравнения |x - a| = x² + 1
так как x² + 1 > 0 , то уравнение равносильно совокупности :
эта совокупность имеет решение, если:
1-й случай. a+5=0; a= - 5; получаем уравнение - x+3=0; x=3 - единственное решение.
2-й случай. a≠ -5; в этом случае мы имеем квадратное уравнение. Единственный корень такое уравнение имеет, когда дискриминант равен нулю (правильнее говорить, что есть два корня, но они равны друг другу). Получаем (a+6)²-12(a+5)=0; a²+12a+36-12a-60=0; a²=24; a=±√(24).
ответ: -5; ±2√6.