Question

С1. представить в виде произведения: а) cos(α-β)-cos(α+β) b) sin2α + cos2α +1 2. найти решение уравнения sin x/3=-1/2 на отрезке [0; 3π]

Answer 1

a) cos(a-b) - cos(a+b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) - (cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) - cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) = 2sin(a)*sin(b)

b) sin(2a) + cos(2a) + 1 = 2*sin(a)*cos(a) + cos²(a) - sin²(a) + cos²(a) + sin²(a) = 2*sin(a)*cos(a) + 2*cos²(a) = 2*cos(a)*(sin(a) + cos(a))

sin($\frac{x}{3}$) = -$\frac{1}{2}$

$\frac{x}{3}$ = arcsin(-$\frac{1}{2}$) + 2πκ, κ∈Ζ

или

$\frac{x}{3}$ = π - arcsin(-$\frac{1}{2}$) + 2πn, n∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = -$\frac{\pi}{6}$ + 2πκ, κ∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = π + $\frac{\pi}{6}$ + 2πn, n∈Ζ

$\frac{x}{3}$ = $\frac{7\pi}{6}$ + 2πn, n∈Ζ

x₁ = -$\frac{\pi}{2}$ + 6πκ, κ∈Ζ

x₂ = $\frac{7\pi}{2}$ + 6πn, n∈Ζ

Отбор корней произведем с неравенств.

x₁: 0 ≤  -$\frac{\pi}{2}$ + 6πκ ≤ 3π

$\frac{\pi}{2}$ ≤ 6πκ ≤ 3π + $\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$ ≤ 6πκ ≤ $\frac{7\pi}{2}$

$\frac{1}{2}$ ≤ 6κ ≤ $\frac{7}{2}$

$\frac{1}{12}$ ≤ κ ≤ $\frac{7}{12}$

Так как κ∈Ζ, то  κ∈∅

x₂: 0 ≤  $\frac{7\pi}{2}$ + 6πn ≤ 3π

-$\frac{7\pi}{2}$ ≤  6πn ≤ 3π - $\frac{7\pi}{2}$

-$\frac{7\pi}{2}$ ≤  6πn ≤ - $\frac{\pi}{2}$

-$\frac{7}{2}$ ≤  6n ≤ - $\frac{1}{2}$

-$\frac{7}{12}$ ≤  n ≤ - $\frac{1}{12}$

Так как n∈Ζ, то  n∈∅ ⇒ нет корней на данном промежутке