Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 18 см, 24 см , 30 см.
" решение " S =πr² , где радиус вписанной окружности
a = 6*3 ; b=6*4 ; c =6*5 ⇒треугольник (пусть ABC) прямоугольный
и не только ( Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.)
г = (a+b-c) /2 = (18 +24 -30)/2 см = 12/2 см = 6 см
S = πr² = 36π см² || 113 ,0971... см² , 113 ,1 см² ||
ответ: 36π см²
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ( думаю не вредит: r = S/p )
S = P*r , где p _ полупериметр (сумма длин всех сторон поделенная на два). ⇒ r = S/p ; S =√p(p-a)(p-b)(p-c) ← (Площадь треугольника по формуле Герона) . В этой задаче p=(18+24+30)/2 =36 (см)
S =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√(36*18*12*6)=√(36²*6²) =36*6 =216 ; r = 216/36=6
Но здесь гораздо проще S =a*b/2 =18*24/2 = 216 (Δ -прямо∠ный)
r =216 /36 =6
( ΔA₁B₁C₁ со сторонами a₁=3 ; b₁ =4; c₁=5⇒r₁=(a₁ + b₁- c₁)/2=(3+4-5)/2 = 1
r = k*r₁ , где k =a/a₁ =6 коэффициент подобия ⇒ r =6*1 = 6
* * * S =k²* S₁ ; S₁ =a₁*b₁/2 =3*4/2 = 6 ⇒ S =6²*6 =216 * * *
посмотрим на левую и правую части
правая часть минимум при x=0 принимает значение 2
берем производную (x^2+2)' = 2x = 0 х=0
левая максимум при х=0 и принимает значение 2
тоже ищем экстремумы 1-x>=0 x<=1
x+1>=0 x>=-1
ОДЗ -1 <= x <=1
ищем экстремумы на границах
при х=-1 выражение =√(1-(-1)) + √(1-1) = √2
при х=1 выражение = √(1-1) + √(1+1) = √2
(√(1+х) + √(1-х))' = 1/2√(1+x) - 1/2√(1-x) = (√(1-x) - √(1+x))/2√(1-x)√(1+x)=0
√(1-x) = √(1+x)
2x = 0
x=0
√(1-0) + √(1+0) = 2
максимум при х=0
значит решение х=0
======
ну можно сделать замену
1-x=u
1+x=t
и решать систему
u+t=2
√u + √t = u² + t²