В теории чисел (делимость и сравнение по модулю) доказывается, что остатки от деления повторяются с некоторым периодом.
В данной задаче остатки от деления числа 3^n на 7 при увеличении n повторяются с периодом 6:
первое число, при делении на 7 дающее в остатке 5, это число 243 (при n=5), следующее 177147 (при n=11) и т.д.
Подробнее:
n=5 3^n=243=34*7+5
n=11 3^n=177147=25306*7+5
n=17 3^n=...
n=23 3^n=...
...
Можем записать
где k=0,1,2,3,4,...
По условию задачи n-двузначное число, следовательно
отсюда максимально возможное значение k=15
n=5+6*15=95
ответ: наибольшее двузначное число n=95
4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a)=sin3a
Рассмотрим левую часть: 4sina*sin(п/3+a)*sin(п/3-a) = 4sina*(sin(п/3)*cos(a) + cos(п/3)*sin(a)) * (sin(п/3)*cos(a) - cos(п/3)*sin(a)) = (в двух последних скобках - это произведение суммы и разности двух чисел: (a-b)(a+b)=a²-b², воспользуемся этой формулой и раскроем скобки) = 4sina*( sin² (п/3)*cos² (a) - cos² (п/3) * sin² (a) ) =
4sina*( 1/4*cos² (a) – 3/4 * sin² (a) ) = (сокращаем на 4, и воспользуемся тем что соs² = 1-sin² ) = sina*( 1 – sin² (a) - 3*sin² (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Рассмотрим правую часть: sin3a= sina – 4*sin³ (a)) = sina*( 1 –4*sin² (a))
Следовательно, выражения в левой и правой частях тождественно равны.