2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.
3) Функция не периодическая.
4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.
5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.
6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).
В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.
Найти первую производную функции
Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.
7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞).
Найти вторую производную функции
8) Выясним вопрос об асимптотах.
Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.
а)
ОДЗ:у-любое число
б)
ОДЗ:у-любое число,кроме у≠9
у-9=0
у=9
в)
ОДЗ:у-любое число, кроме у≠3,у≠ -3
у²-9=0
(у-3)(у+3)=0
у-3=0 или у+3=0
у=3 у= -3
г)
ОДЗ:у-любое число
у²+3=0
у²≠ -3
ответ:уравнение не существует, квадрат числа не может быть отрицательным
д)
ОДЗ:у-любое число,кроме у≠6,у≠ -6
у-6=0 или у+6=0
у=6 у= -6
е)
ОДЗ-х-любое число,кроме х≠0,х≠ -7
х=0 или х+7=0
х= -7
II варианта)
ОДЗ:х-любое число
б)
ОДЗ:а-любое число,кроме а≠4
4-а=0
-а= -4
а=4
в)
ОДЗ:а-любое число, кроме а≠4,а≠ -4
а²-16=0
(а-4)(а+4)=0
а-4=0 или а+4=0
а=4 а= -4
г)
ОДЗ:х-любое число
х²+4=0
х²≠ -4
ответ:уравнение не существует, квадрат числа не может быть отрицательным
д)
ОДЗ:х-любое число,кроме х≠4,х≠ -4
х-4=0 или х+4=0
х=4 х= -4
е)
ОДЗ:а-любое число,кроме а≠0,а≠1
а=0 или а-1=0
а=1
ОДЗ-область допустимых значений