Решение. Рассмотрим остроугольные треугольники ABC и А\В\С\ с высотами AD, СЕ и A\D\, C\E\ (рис.167), у которых АС = А\С\, AD = A\D\, СЕ = С\Е\. Прямоугольные треугольники АСЕ и А\С\Е\ равны по гипотенузе и катету, поэтому углы А и А\ этих треугольников равны. Прямоугольные треугольники ACD и A\C\D\ также равны по гипотенузе и катету, поэтому углы С и С\ этих треугольников равны. Следовательно, треугольники ABC и А\В\С\ равны по второму признаку равенства треугольников (АС = = Aid, ZA = ZAU ZC = ZCi).
Решение. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (если, конечно, он имеет место) должен формулироваться так: если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равен катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и А\В\С\ с прямыми углами А и А\, у которых АВ = А\В\, ZC = ZC\. Приложим треугольник АВС к треугольнику А\В\С\ (рис. 168) так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А\, вершина В — с В\, а вершины С и С\ оказались по разные стороны от прямой А\В\. Поскольку углы А и А\ прямые, то точки С, А\ и С\ окажутся при этом лежащими на одной прямой.
В треугольнике СВ\С\ углы С и С\ равны, поэтому этот треугольник равнобедренный: В\С = В\С\. Следовательно, треугольники АВС и А\В\С\ равны по гипотенузе и катету.