Теория вероятности на контроль поступила партия деталей из цеха. известно, что в среднем 5% всех деталей не удоалетворяют стандарту. сколько нужно испвтать деталей, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотябы одну нестандартную деталь?
Для решения этой задачи воспользуемся примером из теории вероятности, который называется "парадоксом дней рождений".
Вероятность того, что в партии деталей будет хотя бы одна нестандартная деталь, равна 1 минус вероятность того, что все детали являются стандартными.
Для нахождения этой вероятности нужно знать долю нестандартных деталей в партии из цеха. По условию задачи, известно, что в среднем 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Это означает, что в каждой партии из 100 деталей ожидается примерно 5 нестандартных деталей.
Пусть n - количество деталей, которое нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.
Если проверить только 1 деталь, то вероятность обнаружить нестандартную деталь будет равна 5% (или 0,05).
Если проверить 2 детали, то вероятность обнаружить нестандартную деталь будет равна вероятности того, что оба детали являются стандартными, то есть (95%)^2, что составляет 0,9025. Вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь будет равна 1 минус вероятность обоих деталей будут стандартными, т.е. 1 - 0,9025 = 0,0975.
Обобщая это рассуждение, можно сказать, что вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь при проверке n деталей равна 1 - (вероятность обоих деталей будут стандартными)^n.
Мы знаем, что мы хотим достичь вероятности не менее чем 0,95, поэтому установим неравенство:
1 - (0,95)^n ≥ 0,95.
Здесь 0,95 - это желаемая вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, и как раз то, что мы хотим достичь. Теперь давайте решим это неравенство:
1 - (0,95)^n ≥ 0,95.
(0,95)^n ≤ 1 - 0,95.
(0,95)^n ≤ 0,05.
Возьмем логарифм от обеих сторон неравенства:
n * log(0,95) ≤ log(0,05).
Теперь поделим обе части неравенства на log(0,95):
n ≤ log(0,05) / log(0,95).
Таким образом, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, нужно проверить n деталей, где n максимальное целое число, меньшее или равное log(0,05) / log(0,95).
Используя калькулятор или программу, мы получаем, что n ≥ 61,14. Так как количество деталей целое число, мы округляем вверх и получаем, что нужно проверить как минимум 62 детали, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.
Надеюсь, это объяснение понятно для школьника! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.
Вероятность того, что в партии деталей будет хотя бы одна нестандартная деталь, равна 1 минус вероятность того, что все детали являются стандартными.
Для нахождения этой вероятности нужно знать долю нестандартных деталей в партии из цеха. По условию задачи, известно, что в среднем 5% всех деталей не удовлетворяют стандарту. Это означает, что в каждой партии из 100 деталей ожидается примерно 5 нестандартных деталей.
Пусть n - количество деталей, которое нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.
Если проверить только 1 деталь, то вероятность обнаружить нестандартную деталь будет равна 5% (или 0,05).
Если проверить 2 детали, то вероятность обнаружить нестандартную деталь будет равна вероятности того, что оба детали являются стандартными, то есть (95%)^2, что составляет 0,9025. Вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь будет равна 1 минус вероятность обоих деталей будут стандартными, т.е. 1 - 0,9025 = 0,0975.
Обобщая это рассуждение, можно сказать, что вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь при проверке n деталей равна 1 - (вероятность обоих деталей будут стандартными)^n.
Мы знаем, что мы хотим достичь вероятности не менее чем 0,95, поэтому установим неравенство:
1 - (0,95)^n ≥ 0,95.
Здесь 0,95 - это желаемая вероятность обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, и как раз то, что мы хотим достичь. Теперь давайте решим это неравенство:
1 - (0,95)^n ≥ 0,95.
(0,95)^n ≤ 1 - 0,95.
(0,95)^n ≤ 0,05.
Возьмем логарифм от обеих сторон неравенства:
n * log(0,95) ≤ log(0,05).
Теперь поделим обе части неравенства на log(0,95):
n ≤ log(0,05) / log(0,95).
Таким образом, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь, нужно проверить n деталей, где n максимальное целое число, меньшее или равное log(0,05) / log(0,95).
Используя калькулятор или программу, мы получаем, что n ≥ 61,14. Так как количество деталей целое число, мы округляем вверх и получаем, что нужно проверить как минимум 62 детали, чтобы с вероятностью не менее чем 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь.
Надеюсь, это объяснение понятно для школьника! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.