BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
SABM=SCMB=SABC/2
Рассмотрим треугольник ABM и проведем высоту из вершины А.
Высота h так же является высотой для треугольников ABK и AKM.
Значит их площади:
SABK=h*BK*1/2
SAKM=h*KM*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SABK/SAKM=(h*BK*1/2)/(h*KM*1/2)
SABK/SAKM=BK/KM=4
Т.е. SAKM=SABK/4
SABK+SAKM=SABM=SABC/2
SABK+SABK/4=SABC/2
SABK*5/4=SABC/2
SABK=(SABC/2)*4/5
SABK=2*SABC/5
SAKM=SABK/4=(2*SABC/5)/4=SABC/10
Проведем отрезок CK и рассмотрим треугольники AKM и CKM.
Проведем высоту KF. Эта высота является общей для обоих этих треугольников. Площади этих треугольников:
SAKM=KF*AM*1/2
SCKM=KF*CM*1/2
KF=CM (так как BM- медиана), следовательно SAKM=SCKM=SABC/10
Тогда SCKB=SCMB-SCKM=SABC/2-SABC/10=5*SABC/10-SABC/10=4*SABC/10=2*SABC/5
Вернемся к первоначальному рисунку и проведем отрезок MR, параллельный AP.
Для треугольника APC MR - средняя линия, так как проходит через середину AC и параллельна AP.
Следовательно, по теореме о средней линии, PR=RC.
Рассмотрим треугольники MBR и KBP.
∠MBR - общий для обоих треугольников.
∠BKP=∠BMR, так как они соответственные (для параллельных прямых KP и MR и секущей MB).
Значит, по первому признаку, данные треугольники подобны.
Следовательно:
BM/BK=BR/BP
(BK+KM)/BK=(BP+PR)/BP
1+KM/BK=1+PR/BP
KM/BK=PR/BP=1/4 (по условию задачи)
Проведем высоту KD, как показано на рисунке.
KD - является высотой для треугольников KBP и KCP.
SKBP=KD*BP*1/2
SKCP=KD*CP*1/2=KD*(PR+CR)*1/2=KD*(2PR)*1/2
Найдем отношение этих площадей:
SKBP/SKCP=(KD*BP*1/2)/(KD*(2PR)*1/2)
SKBP/SKCP=BP/(2PR)=(BP/PR)/2=(4/1)/2=2
SKBP=2*SKCP
SCKB=2*SABC/5=SKBP+SKCP=2*SKCP+SKCP=3*SKCP
2*SABC/5=3*SKCP
SKCP=2*SABC/15
SKPCM = SCKM+SKCP = SABC/10+SABC*2/15 = SABC*3/30+SABC*4/30 = SABC*7/30
SABK/SKPCM=(SABC*2/5)/(SABC*7/30)
SABK/SKPCM=(2/5)/(7/30)=(2/5)*(30/7)=(2*30)/(5*7)=(2*6)/7=12/7
Ответ: 12/7
Добрий день, шановний Яремо! Нещодавно я прочитав поему «Гайдамаки», яка мене зацікавила та дуже вразила. У цій поемі ви стали моїм улюбленим героєм. Я був вражений вашою мужністю та рішучістю. Також мене вразила ваша любов до Батьківщини, за яку ви боролися до останньої краплі крові. Мене вразило те, що ви пройшли через ряд метаморфоз: від покірного раба до народного месника. Чесно кажучи, я не очікував того, що після такого покірного життя ви схаменетеся та почнете боротьбу проти жорстоких панів.
Також мене здивувала ваша щира любов до Оксани. Ви так сильно любили її, що пішли навіть на війну щоб її визволити. На вашому місці я, мабуть, вчинив так само, бо позбавлення людини кохання – це вчинок, який не можна пробачити. Тож це було останньою краплею вашого терпіння, після чого ви перетворилися на лютого та хороброго месника.
Ще мені подобається, що все закінчилося щасливо: ви повінчалися з Оксаною та стали Залізняку як за сина.
Також, мені подобається ваша самовіддача та рішучість у битві, у якій ви проявили себе справжнім героєм та образом свободолюбивого народу. Мене вразив ваш сильний дух та грізна сила.
Мене цікавить питання: чи змогли б ви стати народним месником, якщо б не вкрали Оксану? Чи пішли б ви до гайдамак без цієї «останньої краплі»? Та чи змогли б придбати такий сильний дух та незламну хоробрість?
Ви запам’яталися мені як людина з великою душею , сильним духом та надзвичайною мужністю. Мене вразили ваші героїчні вчинки та душевні емоції. Отже, ви стали для мене ідеалом патріотичної та щиро люблячої людини.
