Так как углы меньшего многоугольника располагаются на середине сторон, а сторон восемь, значит и углов будет восемь. Т.е. меньший многоугольник является восьмиугольником. Теперь докажем, что он правильный.
Рассмотрим треугольники ABC, CDE и EFG. AB=BC=CD=DE=EF=FG (по определению правильного многоугольника).
/ABC=/CDE=/EFG (по определению правильного многоугольника).
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).
Это означает, что AC=CE=EG=GA.
Из равенства этих треугольников также следует, что все их острые углы тоже равны (/BAC=/BCA=/DCE=...и т.д.). Следовательно, /ACE=/CEG=...и так далее
В итоге, по определению правильного многоугольника получается, меньший восьмиугольник - правильный.
Это произошло в городе Нерюнгри. Лето там короткое, но жаркое. Снега всегда зимой много. И когда он периодически тает, образовываются такие лужи, что и в них купаться можно. А маленькому ребенку и утонуть не трудно. Было это дело по весне. Немного потеплело, это значит была нулевая температура. И был месяц мая. Как раз середина. Так как в начале еще зима вовсю была. И снега сугробы. Было мне лет 5, плавать я еще не умела. Папа сделал мне бумажный кораблик и я пошла с ним гулять одна. Был май, мой кораблик плавал по всем встреченным мной лужам. И вот я увидела море (это был пруд) и пустила кораблик туда. Пруд тогда действительно на море был похож, вода прибыла. А мне много ли надо было. И ростом я была, от горшка два вершка. Кораблик очень быстро поплыл от меня и я бросилась за ним. И начала тонуть, промокла вся в ледяной воде. Благо не заболела. Вокруг пруда было много гуляющих, поэтому меня быстро выловили)
Рассмотрим треугольники ABC, CDE и EFG. AB=BC=CD=DE=EF=FG (по определению правильного многоугольника).
/ABC=/CDE=/EFG (по определению правильного многоугольника).
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников).
Это означает, что AC=CE=EG=GA.
Из равенства этих треугольников также следует, что все их острые углы тоже равны (/BAC=/BCA=/DCE=...и т.д.). Следовательно, /ACE=/CEG=...и так далее
В итоге, по определению правильного многоугольника получается, меньший восьмиугольник - правильный.