Question

Какая из двух звёзд заходит ближе к точке запада: – β Змееносца или α Скорпиона?

Answer 1

$1.a)\;\cos\left(\frac\pi6-2x\right)=-1\\\frac\pi6-2x=\pi+2\pi n\\-2x=\frac{5\pi}6+2\pi n\\x=-\frac{5\pi}{12}-\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\b)\;tg\left(\frac\pi4-\frac x2\right)=-1\\\frac\pi4-\frac x2=\frac{3\pi}4+\pi n\\-\frac x2=\frac\pi2+\pi n\\x=-\pi-2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$
$c)\;2\sin\left(\frac\pi3-\frac x4\right)=\sqrt3\\\sin\left(\frac\pi3-\frac x4\right)=\frac{\sqrt3}2\\\frac\pi3-\frac x4=(-1)^n\frac\pi3+\pi n\\-\frac x4=(-1)^n\frac\pi3-\frac\pi3+\pi n\\x=-(-1)^n\frac{4\pi}3+\frac{4\pi}3-4\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\d)\;2\cos\left(\frac\pi4-3x\right)=\sqrt2\\\cos\left(\frac\pi4-3x\right)=\frac{\sqrt2}2\\\frac\pi4-3x=\frac\pi4+2\pi n\\-3x=2\pi n\\x=-\frac{2\pi}3n,\;n\in\mathbb{Z}$.

$2.a);y=\cos3x+\sqrt{\cos^23x-1}\\\cos^23x-1\geq0\\\cos^23x\geq1\\\cos3x\leq-1,\;\cos3x\geq1$
Косинус не может принимать значения меньше -1 и больше 1. Значит,
$\cos3x=\pm1\\\cos3x=-1\Rightarrow 3x=\pi+2\pin\Rightarrow x=\frac\pi3+\frac{2\pi}3n,\;n\in\mathbb{Z}\\\cos3x=1\Rightarrow3x=2\pi n\Rightarrow x=\frac{2\pi}3n,\;n\in\mathbb{Z}$
Тогда функция может принимать 2 значения:
$npu\;\cos3x=-1:\;y=-1-\sqrt{1-1}=-1\\npu\;\cos3x=1:\;y=1-\sqrt{1-1}=1$

$b)\;y=\sin2x+\sqrt{\sin^24x-1}\\\sin^24x-1\geq0\Rightarrow\sin^24x\geq1\Rightarrow\sin4x\leq-1,\;\sin4x\geq1$
Синус не может принимать значения меньше -1 и больше 1. Значит,
$\sin4x=\pm1\\\sin4x=-1\Rightarrow 4x=\frac{3\pi}2+2\pi n\Rightarrow x=\frac{3\pi}8+\frac\pi2n,\;n\in\mathbb{Z}\\\sin4x=1\Rightarrow4x=\frac\pi2+2\pi n\Rightarrow x=\frac\pi8+\frac\pi2n,\;n\in\mthbb{Z}$
Функция будет принимать 2 значения:
$npu\;\sin4x=-1:\;y=-1-\sqrt{1-1}=-1\\npu\;\sin4x=1:y=1-\sqrt{1-1}=1$

Answer 2

Решите уравнения:
а) π/6-2x=y
cosy=-1
y ∈ {2πk+π}, k ∈ Z
Подставив обратно y=π/6-2x
x ∈ {πk-5π/12}, k ∈ Z
б) tg(π/4-x/2)=-1
y=π/4-x/2
tgy=-1
y ∈ {πk-π/4}, k ∈ Z
Подставив обратно
x ∈ {4πk-π, 4πk+π}, k ∈ Z
в) 2sin(π/3-x/4)=√3
sin(π/3-x/4)=√3/2
y=π/3-x/4
siny=√3/2
y ∈ {2πk+π/3, 2πk+2π/3}, k ∈ Z
x ∈ {8πk, 8πk-4π/3}, k ∈ Z
г) 2cos(π/4-3x)=√2
cos(π/4-3x)=1/√2
y=π/4-3x
cosy=1/√2
y ∈ {2πk-π/4, 2πk+π/4}, k ∈ Z
x ∈ {2πk/3, 2πk/3+π/6}, k ∈ Z

Найти область значений функций:
а) y = cos(3x) + √(cos²(3a)-1)
cos²(3a)-1≥0
cos²(3a)≥1
|cos(3a)|≥1
|cos(3x)|≥1, cos(3x) не может быть больше чем 1.
Так что:
|cos(3a)|=1
cos(3a)=±1
ОДЗ y = ±1
б) y = sin(2x) + √(sin²(4x)-1)
sin²(4x)-1≥0
|sin(4x)|≥1, sin²(4x) не может быть больше чем 1.
Так что:
|sin(4x)|=1
x ∈ {πk/2±π/8}, k ∈ Z
ОДЗ y = sin(±π/4) =±1/√2