Question

Задача по линейной алгебре В некотором базисе заданы векторы а1=(1,2,1),а2(2;1;1) а3=(-1,-2,-1).Найти все значения m,при которых вектор b=(2;3;m) линейно выражается через векторы а1,а2,а3

Answer 1

Для того чтобы вектор b линейно выражался через векторы а1, а2 и а3, необходимо и достаточно, чтобы вектор b был линейной комбинацией этих векторов. То есть существовали такие числа k1, k2 и k3, что выполнялось бы равенство:

b = k1*а1 + k2*а2 + k3*а3

Заменим значения векторов а1, а2 и а3:

b = k1*(1,2,1) + k2*(2,1,1) + k3*(-1,-2,-1) = (k1 + 2k2 - k3, 2k1 + k2 - 2k3, k1 + k2 - k3)

Теперь необходимо решить систему уравнений, которая состоит из трех уравнений, соответствующих каждой координате вектора b:

1) k1 + 2k2 - k3 = 2
2) 2k1 + k2 - 2k3 = 3
3) k1 + k2 - k3 = m

Для нахождения всех значений m, при которых вектор b линейно выражается через векторы а1, а2 и а3, решим данную систему уравнений. Для этого воспользуемся методом Гаусса.

Приведем систему уравнений к простейшему виду:

1) k1 + 2k2 - k3 = 2
2) 2k1 + k2 - 2k3 = 3
3) k1 + k2 - k3 - m = 0

Перепишем систему в матричной форме, где слева от вертикальной черты находится матрица коэффициентов, а справа - столбец свободных членов:

| 1 2 -1 | 2 |
| 2 1 -2 | 3 |
| 1 1 -1 | m |

Применяя элементарные преобразования строк матрицы, приведем ее к ступенчатому виду:

| 1 2 -1 | 2 |
| 0 -3 0 | -1 |
| 0 0 0 | m + 3 |

Заметим, что третья строка является линейной комбинацией двух предыдущих строк, что говорит о наличии свободного параметра m. Любое значение m, отличное от -3, будет подходить.

Таким образом, все значения m, при которых вектор b линейно выражается через векторы а1, а2 и а3, можно записать в виде:

m ≠ -3