Question

Дана функция : $y = 2 log_{1}(x + 1)$

1. Постройте график заданной функции.

2. Найдите, на каком промежутке функция принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное 0.
3. Найдите, при каких значениях аргумента x значения функции меньше 2.

​

Answer 1

1. Построим график заданной функции:

Для построения графика функции необходимо выбрать несколько точек и построить их координаты.

Мы можем выбрать следующие значения аргумента x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Вычислим значения функции для этих значений аргумента x, используя формулу функции y = 2 log_{1}(x + 1):

Для x = -3: y = 2 log_{1}(-3 + 1) = 2 log_{1}(-2) = 2 * 0 = 0
Для x = -2: y = 2 log_{1}(-2 + 1) = 2 log_{1}(-1) = 2 * 1 = 2
Для x = -1: y = 2 log_{1}(-1 + 1) = 2 log_{1}(0) = 2 * undefined = undefined
Для x = 0: y = 2 log_{1}(0 + 1) = 2 log_{1}(1) = 2 * 0 = 0
Для x = 1: y = 2 log_{1}(1 + 1) = 2 log_{1}(2) = 2 * 1 = 2
Для x = 2: y = 2 log_{1}(2 + 1) = 2 log_{1}(3) ≈ 2 * 1.63 ≈ 3.26
Для x = 3: y = 2 log_{1}(3 + 1) = 2 log_{1}(4) = 2 * 2 = 4

Итак, у нас получился набор точек для построения графика: (-3, 0), (-2, 2), (-1, undefined), (0, 0), (1, 2), (2, 3.26), (3, 4).

Теперь нарисуем график функции, используя эти точки:

```
|
4 + o
| o
3 + o
|
2 + o
|
1 +
|
0 +-----o-----
|
-3 -2 -1 0 1 2 3
```

2. Найдём, на каком промежутке функция принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное 0.

Для этого нужно решить уравнение y = 4:

4 = 2 log_{1}(x + 1)

Разделим обе части уравнения на 2:

2 = log_{1}(x + 1)

Теперь избавимся от логарифма, возведя 1 в степень, равную обоим частям уравнения:

1^2 = x + 1

1 = x + 1

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

0 = x

Итак, функция принимает наибольшее значение равное 4 на промежутке x = 0.

Теперь решим уравнение y = 0:

0 = 2 log_{1}(x + 1)

2 log_{1}(x + 1) = 0

Разделим обе части уравнения на 2:

log_{1}(x + 1) = 0

Теперь избавимся от логарифма, возведя 1 в степень, равную обоим частям уравнения:

1^0 = x + 1

1 = x + 1

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

0 = x

Итак, функция принимает наименьшее значение равное 0 на промежутке x = 0.

3. Найдём, при каких значениях аргумента x значения функции меньше 2.

Для этого нужно решить неравенство y < 2:

2 log_{1}(x + 1) < 2

Рассмотрим два случая:

1) log_{1}(x + 1) > 1

Избавимся от логарифма, возведя 1 в степень, равную обеим частям неравенства:

1 > x + 1

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

0 > x

Итак, в этом случае функция принимает значения меньше 2 при x < 0.

2) log_{1}(x + 1) < 1

Избавимся от логарифма, возведя 1 в степень, равную обеим частям неравенства:

1 < x + 1

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

0 < x

Итак, в этом случае функция принимает значения меньше 2 при x > 0.

Итого, значения функции меньше 2 при x < 0 и при x > 0.