Решите задачу.
Индивид потребляет продукты Хи Y, расходуя на их покупку весь
свой доход в размере 25 ден. ед. в день. Цена единицы товара х —
2 ден, ед. Цена единицы товара Y — 3 ден. ед. Функция полезности:
TU= 0,5XY.
а) При каком объёме потребления товаров Хи Y индивид мак-
симизирует общую полезность приобретаемого набора благ?
б) Определите величину общей полезности этого набора.
а) Для определения объема потребления товаров Х и Y, при котором индивид максимизирует общую полезность, мы должны уравнять их предельные полезности (измеряются в денежных единицах).
Предельная полезность товара Х (MUx) можно определить как производную функции полезности TU по Х:
MUx = ∂TU/∂X
В данной задаче функция полезности TU = 0,5XY, поэтому
MUx = ∂(0,5XY)/∂X = 0,5Y
Аналогично, предельная полезность товара Y (MUy) можно определить как производную функции полезности TU по Y:
MUy = ∂TU/∂Y
MUy = ∂(0,5XY)/∂Y = 0,5X
Для равенства предельных полезностей MUx и MUy, мы должны приравнять их значения:
0,5Y = 0,5X
Затем, чтобы найти значения X и Y, мы должны использовать ограничение бюджета, которое гласит, что индивид расходует на покупку товаров весь свой доход в размере 25 денежных единиц в день:
2X + 3Y = 25
Теперь у нас есть система уравнений:
0,5Y = 0,5X
2X + 3Y = 25
Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения. Давайте воспользуемся методом подстановки.
Из первого уравнения мы можем выразить Y через X:
Y = X
Подставим это значение во второе уравнение:
2X + 3(X) = 25
2X + 3X = 25
5X = 25
X = 5
Теперь, когда мы знаем значение Х, мы можем найти значение Y:
Y = X = 5
Итак, при объеме потребления Х и Y, равном 5, индивид максимизирует общую полезность приобретаемого набора благ.
б) Теперь мы можем определить величину общей полезности этого набора.
Функция полезности TU = 0,5XY, поэтому подставим значения X = 5 и Y = 5 в эту функцию:
TU = 0,5 * 5 * 5 = 12,5
Итак, величина общей полезности этого набора равна 12,5.