Question

Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка f (n+5)-af (n+4)-bf (n+3)-cf (n+2)-df (n+1)-ef (n) =0
a=-6 b=-6 c=20 d=39 =18

Answer 1

Для того чтобы найти общее решение данного рекуррентного соотношения 5-го порядка, мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение получается путем замены каждой рекуррентной переменной f(n) на x^n. В данном случае, мы заменяем f(n) на x^n и получаем:

x^5 - ax^4 - bx^3 - cx^2 - dx - e = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение.

Подставим значения a, b, c, d и e:

x^5 - (-6)x^4 - (-6)x^3 - 20x^2 - 39x - 18 = 0

x^5 + 6x^4 + 6x^3 - 20x^2 - 39x - 18 = 0

Шаг 3: Разложим характеристическое уравнение на множители.

Мы можем воспользоваться методом синтетического деления, чтобы найти один из корней уравнения. Попробуем найти корень x = 1.

1 | 1 6 6 -20 -39 -18
- 1 5 11 -9 -48
________________________
1 5 11 -9 -48 -66

Шаг 4: Найдем оставшиеся корни.

После применения метода синтетического деления, мы получаем следующее уравнение:

x^4 + 5x^3 + 11x^2 - 9x - 48 = 0

Мы можем попробовать другие значения x, чтобы найти остальные корни уравнения. Применим подбор и найдем корни x = -3 и x = -4.

Таким образом, после нахождения всех корней характеристического уравнения, мы получаем следующие корни: x = 1, x = -3, x = -4.

Шаг 5: Найдем общее решение.

Если у нас есть корни характеристического уравнения, то общее решение будет иметь следующий вид:

f(n) = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n + c4 * x4^n + c5 * x5^n,

где c1, c2, c3, c4 и c5 - произвольные постоянные, а x1, x2, x3, x4 и x5 - корни характеристического уравнения.

Используя корни, которые мы нашли, получаем общее решение:

f(n) = c1 * 1^n + c2 * (-3)^n + c3 * (-4)^n + c4 * 1^n + c5 * 0^n.

Учитывая, что 0^n = 0 для любого значения n, мы можем упростить общее решение:

f(n) = c1 + c2 * (-3)^n + c3 * (-4)^n + c4 + c5 * 0.

Таким образом, общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка f(n+5) - af(n+4) - bf(n+3) - cf(n+2) - df(n+1) - ef(n) = 0 будет иметь вид:

f(n) = c1 + c2 * (-3)^n + c3 * (-4)^n + c4 + c5 * 0.

Где c1, c2, c3, c4 и c5 - произвольные постоянные.