IVEJOURNAL
ВОЙТИ

lex_kravetski
30 июля 2008, 10:00
1
77
Кванторы и отрицание
Граждане в разной форме интересуются примерно одним и тем же вопросом: как же так получается, что «не умею плавать» означает «не умею плавать никак», а «умею плавать» означает «умею плавать хоть как-то»? И наоборот, почему из «умею плавать брассом» следует «умею плавать», а из «не умею плавать брассом» не следует «не умею плавать»? Граждане, заранее подученные мной, усматривают в такой ассиметрии признаки двоемыслия. Вроде как для положительных утверждений используется одна логика, а для отрицательных – другая. Вроде как они не равны получаются. Двойные стандарты.
Бдительность, конечно, это очень хорошо. Нельзя не порадоваться, что граждане перестают глотать не проверяя всё подряд, а напротив сразу всё проверяют. Однако вопрос, похоже, необходимо разъяснить, поскольку граждане испытывают и с ним проблемы тоже.
Итак, вопрос касается утверждений с кванторами. Кванторы как правило используются в количестве двух штук. Есть квантор «все» и есть квантор «существует». Записываются они, соответственно,  и .
Кроме квантора в подобных выражениях существуют ещё переменные и предикаты. Предикат – это функция от переменной. А сами переменные – это места для подстановки элементов множества.
Например, есть у нас стадо коров и некоторое утверждение, касающееся именно этих коров (а не всего стада в целом). Тогда мы можем сказать «для x выполняется P(x)», где x – переменная, на место которой мы можем подставлять каких угодно коров из стада, а P(x) – это утверждение про корову.
Таким образом, «корова – белая» у нас превратится в «для x (корова) выполняется P(x) (быть белой коровой)». Корова пока что у нас не конкретная, а корова вообще. Соответственно, мы можем в данное выражение начать подставлять реальных коров и получать утверждения «корова Зорька – белая», «корова Тонька – белая» и так далее. В общем, тут всё как в математике с функциями: f(x) = sin(x), f(1) = sin(1), f(2) = sin(2) и так далее.
Иногда бывает, что нам надо сказать что-то не про одну корову, а про всех коров в стаде (не путать с «сказать про само стадо»), например, сказать что все коровы в этом стаде белые.
Тогда мы это сформулируем так:
 x P(x)
Что читается в данном случае как «для всех x (коров в стаде) выполняется P(x) (быть белой коровой)». Или же «выберем любую корову и она будет белой».
Второй квантор нужен для того, чтобы сказать «в стаде есть белые коровы».
 x P(x)
Это выражение читается «существуют такие x (коровы), что для них выполняется P(x) (быть белой коровой)». Или «если мы переберём всё коров в стаде, то обязательно обнаружатся белые».
Если же нам следует построить отрицание упомянутых суждений, то мы проделаем следующее:
 x P(x)   x P(x)
Что означает: «не все коровы белые» равносильно «есть коровы, которые не белые». «Равносильно» – это «тождественно». То есть, оба выражения либо верны, либо неверны одновременно. В общем, одно выражение – переформулировка другого.
И обратно же,
  x P(x)   x P(x)
«Не существует белых коров» равносильно «все коровы не белые».
Собственно, отсюда уже можно догадаться, откуда проистекает описанная в самом начале ассиметрия. Дело в том, что если выражение «не умеет плавать» является отрицанием «умеет плавать» (а в русском языке оно им является), то у нас возможны два варианта.
1. «Умеет плавать» означает «умеет плавать хоть каким-то стилем», а «не умеет плавать» означает «не умеет плавать никак».
Если x – это стиль плавания. А P(x) – «уметь плавать стилем x», то
умеет плавать:  x P(x)
не умеет плавать:   x P(x)   x P(x)
2. «Умеет плавать» означает «умеет плавать любым стилем», «не умеет плавать» означает «не умеет плавать каким-то стилем».
умеет плавать:  x P(x)
не умеет плавать:  x P(x)   x P(x)
Так что, если вам хочется, чтобы из «не умеет плавать брассом» следовало «не умеет плавать», то вам необходимо, чтобы из «умеет плавать брассом» не следовало «умеет плавать». И наоборот, если хотите, чтобы из «не умеет плавать» не следовало «не умеет плавать брассом», то обязательно из «умеет плавать» должно следовать «умеет плавать брассом».
Если такие варианты вас устраивают, то вы либо говорите на каком-то альтернативном языке (где данные фразы имеют вот такой вот смысл или же «умеет плавать» не является отрицанием «умеет плавать»), либо не пользуетесь логикой. Как вариант, говорите сами не понимаете чего.
Я набросаю ряд вопросов, а вы уж выберите себе, какие вам больше по душе.
Вопросы, на которые можно ответить, имея на руках только физическую карту мира:
1. Какой океан самый большой по площади? (Тихий океан).
2. Какой океан разделяет Африку и Южную Америку (Атлантический океан).
3. Какой океан является самым северным океаном? (Северный Ледовитый океан).
4. Какой из океанов является обладателем самой глубокой (Марианской) впадины? (Тихий океан).
5. Какой материк омывают четыре океана? (Евразия).
6. Какой пролив соединяет Северный Ледовитый океан и Тихий океан, и разделяет Евразию и Северную Америку? (Берингов пролив). При такой постановке ответ будет найти легче, однако вопрос можно переделать так: Какие океаны соединяет Берингов пролив (Северный Ледовитый и Тихий океаны).
7. В каком океане расположен, думаю известный многим, остров Мадагаскар? (Индийский океан).
8. Какой океан омывает берега Евразии, Австралии, Северной и Южной Америк? (Тихий океан).
К ответу прикреплена карта.
Несколько вопросов, на которые можно ответить с карты Мирового океана:
1. К бассейну какого океана принадлежит Карибское море/Средиземное море? (Атлантический океан).
2. К бассейну какого океана принадлежит Берингово море? (Тихий океан).
3. К бассейну какого океана принадлежит Аравийское море? (Индийский океан).
4. К бассейну какого океана принадлежит Чукотское море? (Северный Ледовитый океан).
5. У нас есть четыре цветных моря: Белое, Красное, Желтое и Черное. Бассейну какого океана принадлежит каждое из названных морей? (Белое - Северный Ледовитый океан, Красное - Индийский океан, Желтое - Тихий океан, Черное - Атлантический океан).
К ответу прикреплена карта.
Вопросы на знание учебного материала:
1. Что такое Мировой Океан? (Мировой Океан - самое большое скопление воды на Земной поверхности, является основной частью гидросферы).
2. В мировом океане находятся огромные участки суши и сравнительно небольшие. Назовите, о чем идет речь. (огромные участки - материки, сравнительно небольшие - острова).
3. Что такое соленость? (Соленость - это количество грамм вещества, растворенных в 1 литре воды, измеряется в промилле, обозначается ‰).
4. Какая вода считается пресной? (Пресной считается вода в 1 литре которой содержится менее 1г растворенных веществ).
Ну и парочка «игривых» вопросов:
1. Какой океан носит сари? (Индийский океан; сари - традиционная женская одежда на Индийском субконтиненте).
2. Океан с характером (Тихий океан. В 1520 во время путешествия Фернана Магеллана, которое заняло более 3 месяцев, на просторах этого океана стояла спокойная погода, поэтому Магеллан и окрестил его Тихим, однако не такой уж он и «тихий» - на его площади чаще, чем в каком-либо другом месте мира, происходят землетрясения и извержения вулканов).
3. Название океана связано с древнегреческим мифом о титане, держащем на своих плечах небесный свод в крайней западной точке Средиземноморья. (Атлантический океан, миф связан с Атлантом).
4. Название этого океана само скажет, где он находится. (Северный Ледовитый океан, в других странах широко применяется название Арктический океан).
Если персональный фол совершается игроком команды, контролирующей живой мяч или имеющей право на владение мячом, такой фол должен наказываться предоставлением вбрасывания команде соперников.
Объяснение: