Центральное место в системе управления Русским государством занимал великий князь. Он был не только правителем, но и высшим судьей, предводителем войска. В подчиненные области (уделы) киевский князь рассылал наместниками своих сыновей. Каждый удельный князь был полноправным правителем своей земли, однако часть доходов с нее должен был посылать в Киев и выполнять все повеления Киевского князя.
Князь Владимир и его сыновья правили, опираясь на помощь дружин. Дружинники делились на старших и младших. Старшие дружинники — бояре — были советниками князя, с ними он обсуждал вопросы управления. Так возникла Боярская дума.
При принятии важнейших решений Владимир советовался также со «старцами градскими», т.е. с выборными главами народного самоуправления в городах. Эти старцы, очевидно, избирались на вече. Без поддержки вече князь не мог совершить ни одно серьезное действие. В дальнейшем роль народного собрания еще больше возрастала.
Опустим из точки О на плоскость квадрата перпендикуляр, который коснется плоскости квадрата в точке К. Теперь докажем равенство образовавшихся прямоугольных треугольников треугольников. Поскольку их гипотенузы равны по условию задачи, а один из катетов - общий, то вторые катеты также равны как следствие из теоремы Пифагора. Таким образом, точка К равноудалена от сторон квадрата и является его центром.
Поскольку сторона квадрата равна 10 см, то точка К удалена от каждой из них на 10/2 = 5 см . Из имеющегося прямоугольного треугольника с катетом 5 см и гипотенузой 13 см, найдем его катет (который и является расстоянием от точки О до плоскости квадрата.
OK 2 = 13^2 - 5 ^2
OK = 12
Ответ: 12 см