Нехай ∆АВС - даний за умовою.
ВМ - медіана, т. О лежить на ВМ, ∟OAM = ∟OCM,
доведемо, що ∆ABC - рівнобедрений.
Розглянемо ∆АОС - рівнобедрений, так як ∟OAM = ∟OCM.
Оскільки ОМ - медіана, проведена до основи АС, то ОМ - висота i бiсектриса.
∟AOM = ∟COM (ОМ - бісектриса).
Розглянемо ∆АВО i ∆СВО:
1) АО = СО (∆АОС - рівнобедрений);
2) ВО - спільна;
3) ∟BOA = ∟BOC (як суміжні з рівними).
Отже, ∆АВО = ∆СВО за I ознакою piвностi трикутників,
з цього випливає, що АВ = ВС, тоді ∆АВС - рівнобедрений.
Знайти: ∟HAC.
Розв'язання:
За умовою АН - висота (АН ┴ ВС).
За означениям висоти трикутника маємо: ∟BHA = ∟CHA = 90°.
Розглянемо ∆АНС - прямокутний (∟H = 90°).
За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:
∟B + ∟BAH = 90°; ∟BAH = 90° - 76° = 14°.
Розглянемо ∆АВС - рівнобедрений. АВ = ВС.
За властивістю кутів при ocнові рівнобедреного трикутника маємо: ∟BAC = ∟C.
За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∟B + ∟C + ∟BAC = 180°.
Отже, ∟BAC = ∟C = (180° - 76°) : 2 = 104° : 2 = 52°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∟BAC = ∟BAH + ∟CAH;
∟CAH = ∟BAC - ∟BAH. ∟CAH = 52° - 14° = 38°.
Biдповідь: ∟CAH = 38°.