Question

1. У трикутнику АВС (на фото 1) відомо, що кут С прямий. Доведіть, що пряма ВС е дотичною до кола з центром у точці А і яка проходить через точку С. 2. Через точку М до кола з центром у точці 0 (на фото 2) провели дотичні MA і MB з точками дотику А і В відповідно. Кут ВОА дорівнює 22 градуси. Знайдіть кут АМВ. 3. Прямі КА і КВ дотикаються до кола з центром О у точках А і В відповідно. Точка С симетрична точці 0 відносно точки В. Доведіть, що кут АКС втричі більший за кут ВКС. ответьте как можно скорее (могут оставить на 2 год)

Answer 1

1. Для доведення того, що пряма ВС є дотичною до кола з центром у точці А і проходить через точку С, потрібно показати, що кут між прямою ВС і дотичною до кола, проведеною з точки С, дорівнює 90 градусів.

За умовою задачі, кут С є прямим кутом, що означає, що пряма ВС є хордою кола з центром у точці А.

Для доведення, що ВС є дотичною до кола, досить показати, що кут між ВС і дотичною до кола з точки С дорівнює 90 градусів.

Оскільки ВС є хордою кола, а дотична до кола з точки С є радіусом, який перпендикулярний до хорди, ми можемо використати властивість, що кут між радіусом і хордою дорівнює половині кута, що опирається на цю хорду.

Оскільки С - прямий кут, кут між радіусом АС і хордою ВС буде половиною прямого кута, тобто 90 градусів.

Таким чином, пряма ВС є дотичною до кола з центром у точці А і проходить через точку С, оскільки кут між прямою ВС і дотичною до кола, проведеною з точки С, дорівнює 90 градусів.

2. Щоб знайти кут AMВ, можна використати властивості дотичних до кола. Оскільки MA є дотичною, то кут МАО дорівнює 90 градусів, оскільки радіус кола (ОМ) є перпендикуляром до дотичної. Знаючи кут ВОА (22 градуси), можна знайти кут МОВ, використовуючи властивість протилежних кутів. Кут МОВ буде також рівний 22 градуси. Отже, кут AMВ складатиметься з кута МАО і кута МОВ, тобто кут AMV = 90 градусів + 22 градуси = 112 градусів.

Точка С є симетричною точці О відносно точки В. Оскільки КА і КВ є дотичними до кола, то вони є перпендикулярними до відрізка ВС. Оскільки симетрія зберігає кути, то кут АКС буде таким самим, як кут ВКС. Таким чином, кути АКС і ВКС однакові.

Отже, кут АКС не є втричі більшим за кут ВКС. Вони рівні.