Question

Радиусы вписанных окружностей двух правильных многоугольников равны. Докажите, что n-угольник можно накрыть m-угольником тогда

Answer 1

Пусть n = km. Выделим в n-угольнике каждую k-ю сторону, всего m сторон. Продолжим эти стороны до прямых и пересечем соответствующие полуплоскости, содержащие n-угольник. Эта фигура накрывает n-угольник и в то же время является правильным m-угольником с той же вписанной окружностью (точки касания совпадают). Пусть можно накрыть. Тогда накрыта и вписанная окружность W n-угольника. Разобьем m-угольник на дельтоиды, соединив центр с серединами сторон. Если бы центр W попал внутрь дельтоида, то расстояние от него до некоторой стороны было бы меньше радиуса, и окружность вылезла бы за пределы m-угольника. Значит, вписанные окружности совпали. Точка касания m-угольника обязана быть точкой касания n-угольника, а поскольку длины дуг между соседними точками касания m-угольника равны, то на этих дугах лежит поровну точек касания n-угольника, откуда делимость.