а) Перепишем данное равенство в виде:
3 (а + 2b) = 3 666.
Подберём числа а иb такие, чтобы выполнялось равенствоа + 2b = = 666. Например, возьмём самое маленькоеb = 1, тогдаа = 664 или возьмём самое маленькоеа = 2, тогдаb = 332.
б) При любых натуральных числах а иb левая часть равенства 3а + + 6b = 1999 делится на 3, а правая нет, поэтому нельзя подобрать такие натуральные числаа иb, чтобы выполнялось это равенство.
в) При любых натуральных числах а иb левая часть равенства 18а + + 81b = 996 делится на 9, а правая нет, поэтому нельзя подобрать такие натуральные числаа иb, чтобы выполнялось это равенство.
Будем доказывать от противного. Предположим, что существуют два соседних натуральных числа, наибольший общий делитель которых равен 1. Т.е. существуют два натуральных числа а и {а + 1) и натуральное число к больше единицы, которое является делителем чисел а и (а + 1). Тогда числа а и (а + 1) можно представить в виде а = к • I, {а + 1) = к • т, где l и m — некоторые натуральные числа, причем l и m отличаются не менее, чем на единицу.
С одной стороны, (а + 1) - а = к • m - к • I = к • (m - l), с другой стороны, (а + 1) - а = 1, т.е. к • {m - l) = 1, но к > 2 , а (m - l) > 1, следовательно, к{m-l)>2. Противоречие с тем, что к{m - l) = 1. Следовательно, не существует двух соседних натуральных чисел, у которых НОД больше 1, что и требовалось доказать.
