Добрый день, я буду выступать в роли школьного учителя и помогу вам решить эти задачи.
1. В треугольнике ABC AD, BE и CF – медианы. Мы должны вычислить ВС • AD + СА • BE +АВ -CF.
Для начала давайте разберемся с медианами. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
AD, BE и CF - медианы треугольника ABC, значит они делят стороны пополам:
AD делит BC пополам,
BE делит AC пополам,
CF делит AB пополам.
Итак, нам нужно найти значение выражения ВС • AD + СА • BE +АВ -CF.
Мы можем воспользоваться свойством медиан треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону пополам. Это означает, что отношение длины медианы к стороне равно 1:2.
Теперь мы можем найти длины медиан. Пусть M, N и P - середины сторон BC, AC и AB соответственно.
Так как AD делит BC пополам, то BD = CD = BC/2.
Аналогично, CE = AE = AC/2 и AF = BF = AB/2.
Теперь мы можем найти длины отрезков AM, BM, AN, CN, BP и CP.
Так как AD делит BC пополам, AM = AC/2.
Аналогично, AN = AB/2 и BP = BC/2.
Теперь мы можем выразить AD, BE и CF через стороны треугольника:
AD = BD + BM = BC/2 + AC/2 = (BC + AC)/2.
BE = CE + CN = AC/2 + AB/2 = (AC + AB)/2.
CF = AF + FP = AB/2 + BC/2 = (AB + BC)/2.
Теперь подставим найденные значения AD, BE и CF в исходное выражение ВС • AD + СА • BE +АВ -CF:
ВС • AD + СА • BE +АВ -CF = ВС • (BC + AC)/2 + СА • (AC + AB)/2 +АВ - (AB + BC)/2.
Теперь раскроем скобки:
ВС • (BC + AC)/2 + СА • (AC + AB)/2 +АВ - (AB + BC)/2 = (ВС • BC + ВС • AC + СА • AC + СА • AB + АВ - AB - BC)/2.
Упростим числитель:
(ВС • BC + ВС • AC + СА • AC + СА • AB + АВ - AB - BC)/2 = (ВС • BC + СА • AB + ВС • AC + СА • AC + АВ - AB)/2.
Мы получили окончательное выражение, которое уже можно сократить и решить. Здесь мы используем закон коммутативности и ассоциативности сложения:
(ВС • BC + СА • AB + ВС • AC + СА • AC + АВ - AB)/2 =
(АВ + ВС + СА) • (AC + BC + AB)/2.
Итак, окончательное решение задачи - (АВ + ВС + СА) • (AC + BC + AB)/2.
2. В треугольнике ABC отрезок CD — медиана, причем CD^2 > АВ.
В этой задаче нам дано, что отрезок CD является медианой треугольника ABC, и что CD^2 > АВ.
Мы можем воспользоваться теоремой медианы треугольника, которая гласит, что квадрат медианы равен половине суммы квадратов двух остальных сторон треугольника, умноженной на 2.
То есть, CD^2 = (AB^2 + AC^2)/2.
Из условия задачи нам также дано, что CD^2 > AB. То есть, (AB^2 + AC^2)/2 > AB.
Мы можем умножить обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от деления на 2:
AB^2 + AC^2 > 2AB.
Это неравенство можно переписать в виде:
AB^2 - 2AB + AC^2 > 0.
Теперь рассмотрим это выражение как квадратное уравнение относительно AB:
(AB - AC)^2 > 0.
Квадрат любого числа всегда положителен, поэтому это неравенство выполняется для любого значения AB.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что неравенство CD^2 > АВ верно для любого треугольника ABC, где CD - медиана.
Надеюсь, что это решение помогло вам разобраться с данными задачами. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Удачи вам!
решение задания по геометрии
