Решение.
Введем в расмотрение случайные величины
Y1=X1X1+X2+…+Xn, Y2=X2X1+X2+…+Xn, …,Yn=XnX1+X2+…+Xn. *
Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:
MY1=MY2=…=MYn. **
Легко видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1, следовательно,
M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому
MY1+MY2+…+MYn=1.
В силу (**) имеем nM(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/n.
Учитывая (*), окончательно получим
MX1X1+X2+…+Xn=1n.
Что и требовалось доказать.
Для папоротников характерен коротки стебель, который находится в почве и представляет собой корневище. Листья вырастают из почек корневища и развертываются над поверхностью почвы.
В жизненном цикле папоротников чередуются бесполое и половое поколение — спорофит и гаметофит. Но преобладает фаза спорофита — он, как правило, многолетний. Именно его называют папоротником.
Папоротники — многолетние травянистые или древовидные растения (спорофиты), растущие во влажных лесах. В тропиках встречаются лианы, эпифиты, наскальные и водные формы. Многие папоротники выращивают как декоративные растения. Размеры колеблются от нескольких миллиметров до 25 м.
В настоящее время папоротники представлены большим числом видов, распространены очень широко и встречаются от лесов севера средней полосы до тропиков, населяя самые разные местообитания — начиная с пустынь и кончая болотами. Размеры их колеблются от нескольких миллиметров до 25 м (у тропических древовидных форм). Широко известны древовидные формы папоротников. Также встречаются лиановидные папоротники. Очень много во влажном тропическом лесу и разнообразных эпифитных папоротников, т. е. поселяющихся на других растениях. Существует также несколько видов плавающих многолетних папоротников, обитающих в водоёмах. Папоротники стран умеренного климата в большинстве своём — многолетние наземные травянистые растения.
Введем в расмотрение случайные величины
Y1=X1X1+X2+…+Xn, Y2=X2X1+X2+…+Xn, …,Yn=XnX1+X2+…+Xn. *
Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:
MY1=MY2=…=MYn. **
Легко видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1, следовательно,
M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.
Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому
MY1+MY2+…+MYn=1.
В силу (**) имеем nM(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/n.
Учитывая (*), окончательно получим
MX1X1+X2+…+Xn=1n.
Что и требовалось доказать.