Через точку А до окружности i3 центром О проведено дотичнi AM i AK, M i К - точки дотику. Точка перетину відрізка ОА з колом є серединою цього відрізка. Знайдіть кут МАК
Дано: окружность с центром в точке О. AM i АК - касательные (А вне круга).
М и К - точки соприкосновения. ОА - пересекает круг в точке N. N - середина ОА.
Найти: ∟MAK.
Решение:
Выполним дополнительные постройки: ОМ i ОК - радиусы.
По свойству касательных к окружности имеем:
ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК и МА = АК.
Рассмотрим ΔОМА и ΔОКА - прямоугольные.
ОА - общая сторона; ОМ = ОК - радиусы.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔОМА = ΔОКА,
отсюда имеем: ∟MAO = ∟KAO.
По аксиомой измерения углов имеем ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.
Рассмотрим ΔОМА - прямоугольный.
∟OMA = 90 °; ОМ = ON = R; N - середина ОА; если ON = NA i ON = R, тогда ОА = 2R.
По свойству катета, лежащего напротив угла 30 °, имеем, если ОМ = R
и ОА = 2R, тогда ∟MAO = 30 °. Отсюда имеем ∟MAK = 30 ° • 2 = 60 °.
Biдповидь 60 °.
Португалия имела выгодное географическое расположение – выход в Атлантический океан через удобные порты, а также развитую культуру мореплавания. Используя достижения в кораблестроении, картографии и развитии навигационных инструментов, принц Энрике (Генрих Мореплаватель) из порта Сагриш организовал исследование путей в южную часть Атлантического океана. Принц стремился не только открывать, но также осваивать новые земли. В результате были открыты острова Мадейра (1420 г.). Азорские острова (1432 г.), мыс Бохадор (1434 г.), острова Зеленого Мыса (1456 г.) и мыс Пальмас. Таким образом, по карте видно, что португальцы, постепенно продвигались вдоль западного африканского побережья, осваивая путь на юг. В 1482-1486 гг. Диогу Кан достиг экватора, открыв устье реки Конго, тем самым опровергнув идею о непроходимости тропиков. В 1488 г. достигли южной оконечности Африки – Мыса Доброй Надежды, открыв путь в Индийский океан. Это открытие определило открытие Индии. Через 11 лет мореплаватель Васко да Гама совершил переход через Индийский океан и достиг берегов Индии, тем самым завершив процесс, начатый в начале XV в. принцем Энрике Мореплавателем. Достигнув Индии, португальцы получили доступ к рынку пряностей.
Во время правления Екатерины II Россия приобрела следующие территории:
в 1772 г. к России отошли белорусские земли к востоку от Днепра и севернее Западной Двины с городами Могилевым, Витебском и Полоцком, была присоединена Латгалия;
в 1793 г. к России перешла центральная часть Белоруссии с городами
Минском, Борисовом, Слуцком, Мозырем, Пинском и Правобережная Украина;
в 1795 г. западная окраина Белоруссии, Литва, Волынь, Курляндия; в 1774 г. Россия полурила выход к Черному морю, степи Причерноморья - Новороссию (территория между Нижним Доном и Еей),
право иметь свои флот на Черном море и право прохода через проливы Босфор и Дарданеллы, Азов и Керчь, а также Кубань и Кабарду; в1791 г, территория между реками Буг и Днестр, в том числе часть территории Молдавии; в 1793 г одна часть Молдавии по левому берегу Днестра была присоединена к России, Таким образом, в 90-х годах XVIII в. все левобережье Днестра вошло в состав России, Турция признавала российское покровительство Грузии, установленное Георгиевским трактатом 1783 г.
М и К - точки соприкосновения. ОА - пересекает круг в точке N. N - середина ОА.
Найти: ∟MAK.
Решение:
Выполним дополнительные постройки: ОМ i ОК - радиусы.
По свойству касательных к окружности имеем:
ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК и МА = АК.
Рассмотрим ΔОМА и ΔОКА - прямоугольные.
ОА - общая сторона; ОМ = ОК - радиусы.
По признаку piвностi прямоугольных треугольников имеем: ΔОМА = ΔОКА,
отсюда имеем: ∟MAO = ∟KAO.
По аксиомой измерения углов имеем ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.
Рассмотрим ΔОМА - прямоугольный.
∟OMA = 90 °; ОМ = ON = R; N - середина ОА; если ON = NA i ON = R, тогда ОА = 2R.
По свойству катета, лежащего напротив угла 30 °, имеем, если ОМ = R
и ОА = 2R, тогда ∟MAO = 30 °. Отсюда имеем ∟MAK = 30 ° • 2 = 60 °.
Biдповидь 60 °.