Дано:
∆АВС - рівно6едрений, СА = СВ, К є СА, М є CB, CК = СМ.
1. Довести: ∆АМС = ∆ВКС. Доведення:
Розглянемо ∆АМС i ∆ВКС.
1) АС = СВ (за умовою ∆АВС - рівнобедрений);
2) СК = СМ (за умовою);
3) ∟C - спільиий. ∆АМС = ∆ВКС за I ознакою piвності трикутникав. Доведено.
2. Довести:
∆АМВ = ∆ВКА.
Доведення:
Розглянемо ∆АМВ i∆ВКА.
1) АВ - спільна сторона.
2) Якщо АС = СВ, КС = СМ, тоді за аксіомою вимірювання відрізків маємо
АК = АС - КС, MB = ВС - МС, АК = MB.
3) ∟АВС - ∟ВАС (кути при ocновi рівнобедреного трикутника ABC).
∆АМВ = ∆ВКА за I ознакою piвності трикутників. Доведено.
Проведем высоты как показано на рисунке. И рассмотрим треугольник CDF. Это прямоугольный треугольник (т.к. /CFD - прямой).
По теореме о сумме углов треугольника найдем угол FCD
/FCD=180°-90°-45°=45°. Заметим, что /FCD=/FDC. Следовательно, треугольник равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). Отсюда следует, что FD=FC (по определению равнобедренного треугольника).
Рассмотрим треугольник ABE. /BAE=/FDC=45° (т.к. по условию задачи трапеция равнобедренная).
Аналогично по теореме о сумме углов треугольника получим, что /ABE=180°-90°-45°=45°, а следовательно (аналогично предыдущему треугольнику) треугольник ABE - равнобедренный.
Причем эти треугольники равны (AB=CD, BE=CF и /ABE=/FCD - первый признак равенства)=> AE=FD. Рассмотрим четырехугольник BCFE.
Т.к. BC||EF, BE и FC - высоты, следовательно /BEF=90°=/CFE. /EBC=/BCF=90°. Следовательно четырехугольник BCFE - прямоугольник => BC=EF.
Теперь можем записать:
AD=AE+EF+FD, 7=AE+3+FD, 7=AE+3+AE
4=2*AE => AE=2.
Т.к. AE=BE=2, а BE-высота трапеции, то теперь можем вычислить площадь трапеции.
Sтрапеции=BE*(BC+AD)/2
Sтрапеции=2*(3+7)/2=10.
Ответ: Sтрапеции=10
Проведем высоты как показано на рисунке. И рассмотрим треугольник CDF. Это прямоугольный треугольник (т.к. /CFD - прямой).
По теореме о сумме углов треугольника найдем угол FCD
/FCD=180°-90°-45°=45°. Заметим, что /FCD=/FDC. Следовательно, треугольник равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). Отсюда следует, что FD=FC (по определению равнобедренного треугольника).
Рассмотрим треугольник ABE. /BAE=/FDC=45° (т.к. по условию задачи трапеция равнобедренная).
Аналогично по теореме о сумме углов треугольника получим, что /ABE=180°-90°-45°=45°, а следовательно (аналогично предыдущему треугольнику) треугольник ABE - равнобедренный.
Причем эти треугольники равны (AB=CD, BE=CF и /ABE=/FCD - первый признак равенства)=> AE=FD. Рассмотрим четырехугольник BCFE.
Т.к. BC||EF, BE и FC - высоты, следовательно /BEF=90°=/CFE. /EBC=/BCF=90°. Следовательно четырехугольник BCFE - прямоугольник => BC=EF.
Теперь можем записать:
AD=AE+EF+FD, 7=AE+3+FD, 7=AE+3+AE
4=2*AE => AE=2.
Т.к. AE=BE=2, а BE-высота трапеции, то теперь можем вычислить площадь трапеции.
Sтрапеции=BE*(BC+AD)/2
Sтрапеции=2*(3+7)/2=10.
Ответ: Sтрапеции=10
∆АВС - рівно6едрений, СА = СВ, К є СА, М є CB, CК = СМ.
1. Довести: ∆АМС = ∆ВКС. Доведення:
Розглянемо ∆АМС i ∆ВКС.
1) АС = СВ (за умовою ∆АВС - рівнобедрений);
2) СК = СМ (за умовою);
3) ∟C - спільиий. ∆АМС = ∆ВКС за I ознакою piвності трикутникав. Доведено.
2. Довести:
∆АМВ = ∆ВКА.
Доведення:
Розглянемо ∆АМВ i∆ВКА.
1) АВ - спільна сторона.
2) Якщо АС = СВ, КС = СМ, тоді за аксіомою вимірювання відрізків маємо
АК = АС - КС, MB = ВС - МС, АК = MB.
3) ∟АВС - ∟ВАС (кути при ocновi рівнобедреного трикутника ABC).
∆АМВ = ∆ВКА за I ознакою piвності трикутників. Доведено.