Доргонь поначалу воспринял предложение У Саньгуя как ловушку, и не торопился с ответом, однако обстоятельства толкали маньчжуров на союз: замена разложившейся династии Мин новой сильной властью могла положить конец маньчжурским набегам на северные провинции Китая. Поэтому, когда У Саньгуй лично прибыл в маньчжурскую ставку, было достигнуто соглашение: У Саньгуй принёс клятву верности малолетнему Фулиню, и маньчжурская армия двинулась на юг. К тому времени повстанческая армия уже разгромила выставленный У Саньгуем заслон, а её авангард окольным путём проник за Великую стену. Здесь, у прохода Ипяньши, маньчжуры нанесли ему поражение, и двинулись к Шаньхайгуаню, к которому с юга уже подходил Ли Цзычэн. Шаньхайгуаньская битва закончилась полным разгромом Ли Цзычэна.Разбитая повстанческая армия 3 июня без боя оставила Пекин, куда 6 июня вошли маньчжурские войска. Устроив пышную церемонию похорон повесившегося императора Чунчжэня, Доргонь провозгласил династию Цин его наследницей и мстительницей за последнего монарха династии Мин. Особым манифестом всем китайским чиновникам, перешедшим на сторону Цин, было обещано зачисление на службу, повышение в чине и возможность вести дела вместе с маньчжурами. Пекин был объявлен новой столицей Цин, 30 октября туда был привезён малолетний Фулинь.Армия Ли Цзычэна, покинув Пекин, двинулась на юго-запад, чтобы соединиться со стоявшими гарнизонами в крупных городах частями. Их неотступно преследовали войска У Саньгуя и Шан Кэси, подкреплённые маньчжурской конницей князей Додо и Боло. Около Чжэндина состоялось большое сражение, длившееся два дня, в его ходе был ранен Ли Цзычэн; однако ни одна из сторон не одержала победы. Начав через некоторое время отход, повстанцы отправились к горам Тайханшань, и через перевал Гугуань вступила в провинцию Шаньси. Воспользовавшись отступлением повстанцев, на местах стали поднимать голову их враги — помещичьи дружины, сельские ополчения, силы деревенской самообороны; лидеры этих отрядов следовали примеру У Саньгуя и переходили на сторону маньчжуров.В Шаньси армия Ли Цзычэна не получила поддержки со стороны уставшего от войны крестьянства, понесла значительные потери в боях; в ней начались раздоры. Часть командиров со своими частями отделились от главных сил, основная масса войск через перевал Тунгуань перешла в провинцию Шэньси и сделала своей базой Сиань, где повстанцы создали свои органы власти и резко увеличили численность войск. Тем временем войска У Саньгуя и маньчжурская конница малой кровью покорили всю провинцию Шаньси; точно так же были завоёваны южная часть столичной провинции и провинция Шаньдун.После овладения Пекином началось массовое переселение в провинцию Чжили всех «знамённых», живших на равнине Ляохэ в Южной Маньчжурии. Началось запустение юга Ляодуна, центральные и северные районы Маньчжурии опустели ещё в результате походов Нурхаци и Абахая. Маньчжурия превратилась в пустынный край с более или менее обжитыми, но малолюдными центральными районами. В этих условиях часть северных тунгусских племён начала платить ясак уже не маньчжурским, а русским властям.
1) (х + 4,8): 8+ = 25,9 12,5;
(х + 4,8): 8 = 25,9 - 12,5;
(х + 4,8): 8 = 13,4:
х + 4,8 = 13,4-8;
х + 4,8 = 107,2;
х = 107,2 - 4,8;
х = 102,4;
2) (х- 14,9): 9 + 1,25 = 36,7;
(х- 14,9): 9 = 36,7-1,25;
(х-14,9): 9 = 35,45;
х-14,9 = 35,45 • 9;
х- 14,9 = 319,05;
х = 319,05+ 14,9;
х = 333,95;
3) (х + 13,9): 12,5 - 14256 = 250,9;
(х + 13,9): 12,5 = 250,9 + 14256;
(х+13,9): 12,5 = 265,156;
х +13,9 = 265,156 • 12,5;
х +13,9 = 3 314,45;
х= 3 314,45 -13,9;
х= 3 300,55;
4) (х- 103,95): 48,05 + 0,012 = 3,009;
(х- 103,95) : 48,05 = 3,009-0,012;
(х - 103,95): 48.05 = 2,997;
х- 103,95 = 2,997•48,05;
х-103,95 = 144,00585;
х= 144,00585+ 103,95;
х= 247,95585.