Question

Четырехугольник ABCD — параллелограмм, А (-5; 1), В (-4; 4), С (-1; 5). Найдите координаты вершины D.

Answer 1

Ответ к задаче представлен в виде рисунка и приложен к ответу

Answer 2

Чтобы найти координаты вершины D четырехугольника ABCD, который является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.
3. Диагонали параллелограмма делятся пополам друг друга.

Изначально у нас даны 3 вершины параллелограмма - A (-5; 1), В (-4; 4), С (-1; 5). Обозначим эти вершины как A(x₁; y₁), В(x₂; y₂), С(x₃; y₃).

1. Проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными. Для этого можно посчитать их угловые коэффициенты и сравнить их. Угловой коэффициент можно найти, используя формулу: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Найдем угловой коэффициент стороны AB:

m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (4 - 1) / (-4 - (-5)) = 3 / 1 = 3

Аналогично, найдем угловой коэффициент стороны CD. Для этого используем точки C и Д:
m₂ = (y₄ - y₃) / (x₄ - x₃)

Так как стороны параллелограмма AB и CD параллельны, и их угловые коэффициенты равны, то у нас есть одно уравнение:

m₁ = m₂

2. Проверим, являются ли стороны AB и CD равными по длине. Для этого посчитаем длины данных сторон, используя формулу расстояния между двумя точками: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Вычислим длину стороны AB:

d₁ = √((-4 - (-5))² + (4 - 1)²) = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10

Аналогично, найдем длину стороны CD, используя точки C и D:

d₂ = √((x₄ - x₃)² + (y₄ - y₃)²)

Так как стороны AB и CD параллельны и равны по длине, и у нас есть одно уравнение:

d₁ = d₂

3. Диагонали параллелограмма делятся пополам друг друга. Мы можем использовать этот факт, чтобы найти координаты вершины D.

Сначала найдем середину диагонали AC, что будет являться точкой пересечения диагоналей:

x₅ = (x₁ + x₃) / 2 = (-5 + (-1)) / 2 = -6 / 2 = -3
y₅ = (y₁ + y₃) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Точка D будет лежать в точности противоположно точке B относительно середины диагонали AC. То есть мы можем использовать векторное выражение:

x₄ = 2 * x₅ - x₂ = 2 * (-3) - (-4) = -6 + 4 = -2
y₄ = 2 * y₅ - y₂ = 2 * 3 - 4 = 6 - 4 = 2

Итак, координаты вершины D равны (-2, 2).