1. Дана точка, пусть это будет А(6; -3) и прямая L: х - 3у + 12 = 0.
У прямой К в виде Ах + Ву + С = 0 , перпендикулярной к L. коэффициенты А и В в уравнении меняются на -В и А.
Получаем уравнение прямой К перпендикулярной к L: 3х + у + С = 0.
Для определения слагаемого С подставим координаты точки А.
3*6 + 1*(-3) + С = 0, отсюда С = -15.
Уравнение 3х + у - 15 = 0.
2. У параллельных прямых соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны.
2а/(а - 1) = -3/3а или после сокращения 2а/(а - 1) = -1/а.
По условию пропорции: 2а*а = -1*(а - 1), отсюда получаем квадратное уравнение: 2а² + а - 1 = 0. Д = 1 - 4*2*(-1) = 9. √Д = +-3.
а1 = (-1 - 3)/(2*2) = -1,
а2 = (-1 + 3)/(2*2) = 2/4 = 1/2.
3. Дано уравнение окружности х² + у² - 2х - 4у + 4 = 0.
Выделим полные квадраты.
(х² - 2х + 1) - 1 + (у² - 4у + 4) - 4 + 4 = 0.
(х - 1)² + (у - 2)² = 1. Отсюда находим центр окружности и её радиус.
Центр(1; 2), R = 1.
4. Большая (или действительная) полуось а = с/е = 3/(3/2) = 2.
Меньшая (мнимая) равна: b = √(c² - a²) = √(3² - 2²) = √(9 - 4) = √5.
Уравнение гиперболы: (x²/3²) - (y²/(√5)² = 1.
5. Дано уравнение параболы у = -х² + 2х + 2.
Выделим полный квадрат: у + (х² - 2х + 1) - 1 + 2 = 0. Получаем:
(х - 1)² = -у - 1 или (х - 1)² = 2*(-1/2)*(у - (-1)).
Это уравнение параболы с вершиной в точке (xo; yo) = (1; -1).
Параметр р = (-1/2), отсюда находим фокус:
F = (xo; y + (p/2)) = (1; -1 + (-1/4)) = (1; (-5/4)).
Уравнение директрисы D: у = yo - (p/2)) = -1 - (-1/4) = -3/4.
Получили уравнение у = -3/4.
