Question

Решите задачу
Ежемесячно Ровшан тратит на покупку газет и журналов 46 ден. ед. Предельная полезность газет для него определяется уравнением: MUx = 5- х, где х – количество газет, шт. Предельная полезность журналов для Ровшана выражается уравнением: MUy = 6 – 2y, где y – количество журналов, шт. Цены газет и журналов составляют 2 и 12 ден. ед. соответственно. Определите, какое количество газет и журналов в месяц приобретет Ровшан как рациональный потребитель.

Answer 1

Дано:
- Расходы Ровшана на газеты и журналы в месяц: 46 ден. ед.
- Предельная полезность (MU) газет для Ровшана: MUx = 5 - x, где x - количество газет, шт.
- Предельная полезность (MU) журналов для Ровшана: MUy = 6 - 2y, где y - количество журналов, шт.
- Цена газет: 2 ден. ед.
- Цена журналов: 12 ден. ед.

Цель: определить, какое количество газет и журналов в месяц приобретет Ровшан как рациональный потребитель.

Шаг 1: Установить предельную полезность на каждую единицу денежных расходов:
- Для газет: MUx / Цена газет = (5 - x) / 2
- Для журналов: MUy / Цена журналов = (6 - 2y) / 12

Шаг 2: Установить равенство предельной полезности газет и журналов:
(5 - x) / 2 = (6 - 2y) / 12

Шаг 3: Избавиться от дробей, умножив каждую часть уравнения на общий множитель (в данном случае, 12):
12 * (5 - x) = 2 * (6 - 2y)

Шаг 4: Упростить уравнение:
60 - 12x = 12 - 4y

Шаг 5: Перенести все переменные на одну сторону:
12x - 4y = 48

Шаг 6: Данное уравнение представляет собой линейную функцию. Решим его, используя метод подстановки или метод сложения/вычитания:

Метод подстановки:
- Предположим, что количество газет равно нулю: x = 0.
- Подставим это значение в уравнение: 12(0) - 4y = 48.
- Решим полученное уравнение: -4y = 48 => y = -48/4 => y = -12.
- Ответ: x = 0, y = -12.

Метод сложения/вычитания:
- Домножим первое уравнение (12x - 4y = 48) на 3 и второе уравнение (46 = 2x + 12y) на 2, чтобы сделать коэффициенты при x одинаковыми:
36x - 12y = 144
4x + 24y = 92

- Сложим данные уравнения, чтобы устранить переменную y:
40x + 12y = 236

- Разделим оба уравнения на 4:
10x + 3y = 59

- Умножим первое уравнение (12x - 4y = 48) на 2 и вычтем его из полученного уравнения (10x + 3y = 59), чтобы устранить переменную x:
20x - 8y = 96
10x + 3y = 59
---------------------------
10x - 8y = 96
- 10x - 3y = -59
---------------------------
-11y = 37
y = -37/11
y = -3.3636 (округляем до -3)

- Подставим полученное значение y обратно в одно из начальных уравнений (46 = 2x + 12y):
46 = 2x + 12(-3)
46 = 2x - 36
2x = 82
x = 82/2
x = 41

Ответ: Рациональный потребитель Ровшан будет приобретать 41 газету и 3 журнала в месяц.