Монополист имеет затраты TC = 2 000 + 10Q + 0,5Q^2 . Спрос на его продукцию задан уравнением QD = 120 – 2P. Найти монопольную прибыль и коэффициент Лернера. Нужно подробное решение с объяснениями
Для решения данной задачи нам потребуется использовать следующие формулы:
1. Общий доход (TR) вычисляется как произведение цены продукта (P) на количество проданного товара (Q): TR = P * Q.
2. Затраты фирмы (TC) заданы уравнением TC = 2 000 + 10Q + 0,5Q^2.
3. Прибыль (π) определяется как разница между общим доходом и затратами: π = TR - TC.
4. Формула спроса на продукцию монополиста: QD = 120 - 2P.
5. Коэффициент Лернера (L) рассчитывается как отношение разности между ценой и предельной стоимостью производства к цене: L = (P - MC) / P, где MC - предельные затраты на производство первой единицы продукции (MC = dTC/dQ).
Давайте начнем с расчета цены. Для этого подставим уравнение спроса в уравнение общего дохода:
TR = P * Q = P * (120 - 2P).
Теперь найдем общую прибыль, подставив уравнение затрат в формулу прибыли:
π = TR - TC = P * (120 - 2P) - (2 000 + 10Q + 0,5Q^2).
Для нахождения оптимального уровня производства, который максимизирует прибыль, возьмем производную прибыли по Q и приравняем ее к нулю:
dπ/dQ = -10 - Q = 0,
Q = -10.
Подставим найденное значение Q в уравнение спроса, чтобы найти цену:
QD = 120 - 2P,
-10 = 120 - 2P,
2P = 130,
P = 65.
Теперь рассчитаем предельные затраты на производство первой единицы продукции используя формулу:
MC = dTC/dQ = 10 + 0,5 * 2Q = 10 + Q = 10 + (-10) = 0.
И найдем коэффициент Лернера, подставив MC в формулу коэффициента Лернера:
L = (P - MC) / P = (65 - 0) / 65 = 1.
Таким образом, монопольная прибыль составляет -2 500, а коэффициент Лернера равен 1.
Минус перед прибылью означает, что фирма работает с убытками. Коэффициент Лернера показывает, что цена продукции монополиста составляет удвоенные предельные затраты на производство первой единицы товара.
1. Общий доход (TR) вычисляется как произведение цены продукта (P) на количество проданного товара (Q): TR = P * Q.
2. Затраты фирмы (TC) заданы уравнением TC = 2 000 + 10Q + 0,5Q^2.
3. Прибыль (π) определяется как разница между общим доходом и затратами: π = TR - TC.
4. Формула спроса на продукцию монополиста: QD = 120 - 2P.
5. Коэффициент Лернера (L) рассчитывается как отношение разности между ценой и предельной стоимостью производства к цене: L = (P - MC) / P, где MC - предельные затраты на производство первой единицы продукции (MC = dTC/dQ).
Давайте начнем с расчета цены. Для этого подставим уравнение спроса в уравнение общего дохода:
TR = P * Q = P * (120 - 2P).
Теперь найдем общую прибыль, подставив уравнение затрат в формулу прибыли:
π = TR - TC = P * (120 - 2P) - (2 000 + 10Q + 0,5Q^2).
Для нахождения оптимального уровня производства, который максимизирует прибыль, возьмем производную прибыли по Q и приравняем ее к нулю:
dπ/dQ = -10 - Q = 0,
Q = -10.
Подставим найденное значение Q в уравнение спроса, чтобы найти цену:
QD = 120 - 2P,
-10 = 120 - 2P,
2P = 130,
P = 65.
Итак, монопольная прибыль будет равна:
π = P * (120 - 2P) - (2 000 + 10Q + 0,5Q^2) = 65 * (120 - 2 * 65) - (2 000 + 10 * (-10) + 0,5 * (-10)^2) = 65 * (120 - 130) - (2 000 - 100 - 50) = 65 * (-10) - 1 850 = -650 - 1 850 = -2 500.
Теперь рассчитаем предельные затраты на производство первой единицы продукции используя формулу:
MC = dTC/dQ = 10 + 0,5 * 2Q = 10 + Q = 10 + (-10) = 0.
И найдем коэффициент Лернера, подставив MC в формулу коэффициента Лернера:
L = (P - MC) / P = (65 - 0) / 65 = 1.
Таким образом, монопольная прибыль составляет -2 500, а коэффициент Лернера равен 1.
Минус перед прибылью означает, что фирма работает с убытками. Коэффициент Лернера показывает, что цена продукции монополиста составляет удвоенные предельные затраты на производство первой единицы товара.