60 ! при пересечении двух бесконечных параллельных цилиндров радиуса r, оси которых находятся на расстоянии l друг от друга, образуются
два ”полумесяца”, равномерно заряженные разноименными электрическими
. объемная плотность заряда одного из ”полумесяцев” −ρ, а другого
ρ. найдите напряженность электрического поля в области пересечения.
Закон Кулона утверждает, что напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, пропорциональна величине заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядом и точкой, в которой ищется напряженность поля.
Принцип суперпозиции заключается в том, что результативное электрическое поле в точке, образованное несколькими зарядами, равно векторной сумме полей, создаваемых каждым из этих зарядов отдельно.
Давайте рассмотрим первый полумесяц с объемной плотностью заряда ρ. Так как это объемный заряд, мы не можем просто применить закон Кулона для нахождения напряженность поля в данной точке. Однако, если мы представим этот полумесяц как множество бесконечно маленьких зарядов с зарядом Δq и найдем напряженность поля, создаваемого каждым из этих зарядов, то затем мы сможем проинтегрировать их, чтобы получить общую напряженность поля.
Пусть dx - бесконечно маленькая длина маленького заряда Δq. Тогда его величина будет равна Δq = ρ dx.
Для нахождения напряженности поля, создаваемого Δq, будем использовать закон Кулона:
dE = (1/4πε₀) * (Δq / r²),
где ε₀ - электрическая постоянная (ε₀ ≈ 8.85 * 10⁻¹² Ф/м).
Теперь мы можем проинтегрировать эти бесконечно маленькие напряженности полей dE по всей длине полумесяца.
E₁ = ∫(1/4πε₀) * (Δq / r²) = (1/4πε₀) ∫(ρ dx / r²),
где интегрирование проводится от одного края полумесяца до другого.
Так как полумесяц имеет симметричную форму, результат интегрирования будет равен нулю:
E₁ = 0.
Аналогично, можно рассмотреть второй полумесяц с плотностью заряда -ρ и получить E₂ = 0.
Теперь рассмотрим область пересечения двух полумесяцев. В этой области находятся заряды с плотностью заряда ρ и -ρ. Для нахождения напряженности поля в этой области мы снова будем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции.
Пусть dE - напряженность поля, создаваемого бесконечно маленьким зарядом Δq₁, имеющим плотность заряда ρ₁, и dE' - напряженность поля, создаваемого бесконечно маленьким зарядом Δq₂, имеющим плотность заряда -ρ₂.
Тогда напряженность поля в данной точке, создаваемое областью пересечения двух полумесяцев, будет равна:
E = dE + dE' = (1/4πε₀) * [(ρ₁ dx / r²) + (-ρ₂ dx / r²)].
Теперь мы можем проинтегрировать это выражение по всей длине области пересечения:
E = (1/4πε₀) ∫[(ρ₁ - ρ₂) dx / r²],
где интегрирование проводится от одного края области пересечения до другого.
Так как область пересечения также имеет симметричную форму, результат интегрирования будет равен нулю:
E = 0.
Итак, напряженность электрического поля в области пересечения двух полумесяцев равна нулю.
Я надеюсь, что мое объяснение было понятным и информативным. Пожалуйста, сообщите мне, если у вас возникнут какие-либо вопросы или если нужно что-то уточнить.