Материальная точка совершает движение в плоскости xy описываемое уравнениями x=5sin омега t y=5cos омега t. найти зависимость пройденного пути от времени считая что при t=0, s=0
Чтобы найти зависимость пройденного пути от времени, нам необходимо найти функцию s(t), где s - пройденный путь.
У нас даны уравнения движения материальной точки: x = 5sin(ωt) и y = 5cos(ωt), где ω - некоторая константа.
Перейдем от декартовых координат к полярным координатам, чтобы упростить наши дальнейшие вычисления. Формулы перехода между системами координат:
x = rcos(θ),
y = rsin(θ),
где r - радиус-вектор, θ - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси x.
Подставим уравнения движения в формулы перехода:
rcos(θ) = 5sin(ωt),
rsin(θ) = 5cos(ωt).
Разделим второе уравнение на первое:
tan(θ) = 5cos(ωt) / 5sin(ωt) = cos(ωt) / sin(ωt) = ctg(ωt).
Таким образом, θ = arctan(ctg(ωt)).
Теперь найдем радиус-вектор r:
r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((5sin(ωt))^2 + (5cos(ωt))^2) = sqrt(25(sin^2(ωt) + cos^2(ωt))) = 5.
Итак, мы нашли радиус-вектор r и угол θ в зависимости от времени t. Теперь мы можем записать пройденный путь s(t).
Длина дуги пути s может быть найдена следующим образом:
s = ∫[t_1, t_2] sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt,
где [t_1, t_2] - интервал времени, на котором происходит движение точки.
Для нашего движения точки:
dx/dt = d(5sin(ωt)) / dt = 5ωcos(ωt),
dy/dt = d(5cos(ωt)) / dt = -5ωsin(ωt).
Подставим эти значения в формулу для длины дуги пути:
s = ∫[t_1, t_2] sqrt((5ωcos(ωt))^2 + (-5ωsin(ωt))^2) dt,
s = ∫[t_1, t_2] sqrt(25ω^2(cos^2(ωt) + sin^2(ωt))) dt,
s = ∫[t_1, t_2] sqrt(25ω^2) dt,
s = ∫[t_1, t_2] 5ω dt,
s = 5ω∫[t_1, t_2] dt,
s = 5ω(t_2 - t_1).
Таким образом, пройденный путь s(t) равен 5ω(t_2 - t_1), где t_1 и t_2 - начальное и конечное время соответственно.
В данной задаче у нас дано, что при t = 0 путь равен 0, то есть s(0) = 0. Подставим это значение:
s(0) = 5ω(0_2 - 0_1) = 0,
откуда получаем, что t_2 - t_1 = 0.
Итак, если при t = 0 точка находится в начале координат, то согласно данному уравнению движения, точка останется в начале координат на протяжении всего времени движения. Это означает, что пройденный путь s будет равен 0 при любом значении времени t.
Чтобы найти зависимость пройденного пути от времени, нам необходимо найти функцию s(t), где s - пройденный путь.
У нас даны уравнения движения материальной точки: x = 5sin(ωt) и y = 5cos(ωt), где ω - некоторая константа.
Перейдем от декартовых координат к полярным координатам, чтобы упростить наши дальнейшие вычисления. Формулы перехода между системами координат:
x = rcos(θ),
y = rsin(θ),
где r - радиус-вектор, θ - угол между радиус-вектором и положительным направлением оси x.
Подставим уравнения движения в формулы перехода:
rcos(θ) = 5sin(ωt),
rsin(θ) = 5cos(ωt).
Разделим второе уравнение на первое:
tan(θ) = 5cos(ωt) / 5sin(ωt) = cos(ωt) / sin(ωt) = ctg(ωt).
Таким образом, θ = arctan(ctg(ωt)).
Теперь найдем радиус-вектор r:
r = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt((5sin(ωt))^2 + (5cos(ωt))^2) = sqrt(25(sin^2(ωt) + cos^2(ωt))) = 5.
Итак, мы нашли радиус-вектор r и угол θ в зависимости от времени t. Теперь мы можем записать пройденный путь s(t).
Длина дуги пути s может быть найдена следующим образом:
s = ∫[t_1, t_2] sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt,
где [t_1, t_2] - интервал времени, на котором происходит движение точки.
Для нашего движения точки:
dx/dt = d(5sin(ωt)) / dt = 5ωcos(ωt),
dy/dt = d(5cos(ωt)) / dt = -5ωsin(ωt).
Подставим эти значения в формулу для длины дуги пути:
s = ∫[t_1, t_2] sqrt((5ωcos(ωt))^2 + (-5ωsin(ωt))^2) dt,
s = ∫[t_1, t_2] sqrt(25ω^2(cos^2(ωt) + sin^2(ωt))) dt,
s = ∫[t_1, t_2] sqrt(25ω^2) dt,
s = ∫[t_1, t_2] 5ω dt,
s = 5ω∫[t_1, t_2] dt,
s = 5ω(t_2 - t_1).
Таким образом, пройденный путь s(t) равен 5ω(t_2 - t_1), где t_1 и t_2 - начальное и конечное время соответственно.
В данной задаче у нас дано, что при t = 0 путь равен 0, то есть s(0) = 0. Подставим это значение:
s(0) = 5ω(0_2 - 0_1) = 0,
откуда получаем, что t_2 - t_1 = 0.
Итак, если при t = 0 точка находится в начале координат, то согласно данному уравнению движения, точка останется в начале координат на протяжении всего времени движения. Это означает, что пройденный путь s будет равен 0 при любом значении времени t.