Осветитель, предназначенный для получения направленных световых пучков, состоит из точечного источника света и линзы диаметра d = 6 см с фокусным расстоянием f = 15 см. на каком расстоянии d от линзы должен быть расположен источник, чтобы лучи через линзу, образовали на экране световое пятно диаметра h = 4 см? расстояние от линзы до экрана равно l = 100 см.
1/f = 1/d_o + 1/d_i
где f - фокусное расстояние линзы, d_o - расстояние от объекта до линзы, d_i - расстояние от линзы до изображения.
Мы знаем, что фокусное расстояние f = 15 см, диаметр линзы d = 6 см, диаметр светового пятна на экране h = 4 см, и расстояние от линзы до экрана l = 100 см.
Сначала, мы можем использовать геометрическую оптику для получения значений d_i и h:
h = 2 * d * tg(alpha)
где alpha - угол между лучами, проходящими через линзу. Так как линза симметрична, то alpha равен половине угла конуса лучей, проходящих через линзу.
Так как d_o равно радиусу линзы r, то:
d_o = r = d/2 = 6/2 = 3 см
Затем, мы можем использовать формулу тонкой линзы для определения значений d_i:
1/f = 1/d_o + 1/d_i
Подставляем значения:
1/15 = 1/3 + 1/d_i
Вычитаем 1/3 с обеих сторон:
1/15 - 1/3 = 1/d_i
1/15 - 5/15 = 1/d_i
-4/15 = 1/d_i
Меняем знак и делаем обратное значение:
d_i = -15/4 см
Теперь, мы можем использовать геометрическую оптику, чтобы найти значение alpha:
tg(alpha) = h / (2 * d_i)
Подставляем значения:
tg(alpha) = 4 / (2 * (-15/4))
tg(alpha) = -8 / 15
Затем, используем обратный тангенс для нахождения значения alpha:
alpha = arctg(-8 / 15)
alpha = -28.17 градусов
Так как лучи проходят через фокусную точку линзы, то они должны расходиться на углы alpha и должны попасть на экран диаметром h = 4 см на расстоянии l = 100 см от линзы.
Теперь мы можем использовать тангенс, чтобы найти расстояние d от линзы до источника:
tg(2 * alpha) = (h/2) / d
Подставляем значения:
tg(2 * (-28.17 градусов)) = (4/2) / d
tg(-56.34 градусов) = 2 / d
-1.5328 = 2 / d
Меняем знак и делаем обратное значение:
d = -2 / -1.5328
d = 1.303 см
Итак, чтобы лучи через линзу образовали на экране световое пятно диаметра 4 см, источник света должен быть расположен на расстоянии d = 1.303 см от линзы.