Question

Два одинаковых груза массой m подвешены к вертикальной оси на нитях длиной h. Определить их кинетическую энергию, если они при вращении отклоняются на угол α

Answer 1

Відповідь:

Ускорение точки есть производная от скорости по времени

или вторая производная от радиус-вектора по времени:

a = dv/dt = d2

r/dt

2

(1.3)

При решении задач кинематики уравнения (1.1) – (1.3) используются в скалярной форме. Чтобы осуществить такой перевод,

следует определить, какой из видов движения (прямолинейное,

криволинейное, вращательное) рассматривается в данной конкретной задаче. Рассмотрим особенности использования уравнений (1.1) – (1.3) для каждого на этих видов движения.

Прямолинейное движение. В этом случае координатную ось

целесообразно выбрать в направлении движения, а положение

точки характеризовать координатой х, равной расстоянию движущейся точки от начала отсчета. Кинематическое уравнение (1)

примет вид:

x = x (t) (1.4)

Мгновенная скорость

v = dx / dt (1.5)

Мгновенное ускорение

a = dv / dt = d2

x / dt

2

(1.6)

Уравнение равномерного движения

x = x0 + vt, (1.7)

или при x0 = 0 x = vt. (1.8)

Уравнение равнопеременного движения

x = x0 + v0t + at2

/2 (1.9)

где x0 – расстояние от движущейся точки до начала отсчета в момент времени t = 0, v0 – скорость точки в этот момент времени.

Скорость равнопеременного движения

v = v0 + at (1.10)

Исключая время из (1.9) и (1.10), можно получить:

2ax = v2

- v0

2

. (1.11)

Криволинейное движение. Для задания движения точки в

этом случае можно пользоваться двумя В одном из них

указывается траектория точки и уравнение движения точки по

кривой:

S = S ( t ) (1.12)

При этом мгновенная скорость выражается так же, как и в случае прямолинейного движения:

v = dS / dt, (1.13)

а направление мгновенной скорости в каждой точке траектории

совпадает с направлением касательной к траектории в этой же

точке.

Для нахождения мгновенного ускорения a его рассматривают

состоящим из двух составляющих:

тангенциального ускорения aτ, характеризующего изменение

скорости по модулю и направленного по касательной к траектории: aτ = dv / dt, (1.14)

нормального ускорения an, характеризующего изменение

скорости по направлению и направленного к центру кривизны

траектории an = v2 / R (1.15)

где R радиус кривизны траектории. Полное ускорение

a = an + aτ или a = √ an

2

+ aτ

2

. (1.16)

При другом описания криволинейного движения указываются уравнения движения точки, выражающие зависимость

координат точки от времени. В случае плоского движения достаточно указать два уравнения:

x = x (t), y = y (t) (1.17)

Уравнение траектории у = y(x) в этом случае находится исключением времени из уравнений (1.17). Проекции скорости

на оси координат

vx = dx / dt, vy = dy / dt. (1.18)

Полная скорость выражается через проекции соотношением:

v = √ vx

2

+ vy

2

. (1.19)

Проекции полного ускорения на оси координат

ax = dvx / dt = d2

x / dt

2

, ay = dvy / dt = d2y / dt

2

. (1.20)

Полное ускорение

a = √ ax

2

+ ay

2

. (1.21))

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Любая точка вращающегося тела описывает окружность в

плоскости, перпендикулярной оси вращения. Поворот радиусвектора точки за время t определяет угол поворота φ всего тела.

Зависимость φ от t называется кинематическим уравнением

враще-ния: φ = φ (t).

(1.22)

Мгновенная угловая скорость

ω = dφ / dt. (1.23)

Мгновенное угловое ускорение

ε = dω / dt = d2

φ / dt

2

. (1.24)

Уравнения равномерного вращения

φ = ωt; ω = const; ε = 0. (1.25)

Уравнения равнопеременного вращения

φ = ω0t + εt

2

/2. (1.26)

Угловая скорость равнопеременного вращения

ω = ω0 + εt. (1.27)

Исключив время из уравнений (1.26) и (1.27), можно получить:

2εφ = ω2

- ω0

2

. (1.28)

Следует отметить, что формулы (1.22)–(1.28) аналогичны формулам (1.4)–(1.11) для прямолинейного движения точки.

Связь между линейными и угловыми величинами выражается

формулами: длина пути (дуги), пройденного точкой,

S = φR, (1.29)

где φ – угол поворота тела; R – радиус вращения тoчки.

Линейная скорость точки v = ωR. (1.30)

Ускорения точки aτ = εR, (1.31)

an = ω2

R. (1.32)

Приведенные выше соотношения дают возможность по известному закону движения рассчитать и построить траекторию движения тела, найти скорость и ускорение. Если же известны ускорение или скорость как функции времени и начальные условия, то

можно найти закон движения тела.

Пояснення: