Тело массой 0,5 кг, укрепленное на пружине, в покое растягивает ее на 1 см. Его смещают на 3 см вниз и отпускают. После этого оно начинает совершать гармонические колебания. Определите амплитуду, циклическую частоту, период и начальную фазу. Напишите уравнение колебаний
Первое, что нам нужно сделать - определить коэффициент упругости пружины. Мы можем использовать закон Гука для этого:
F = k * x
где F - сила, приводящая к растяжению пружины, k - коэффициент упругости пружины, x - изменение длины пружины.
Известно, что при растяжении на 1 см (или 0,01 м), пружина испытывает силу веса тела. Таким образом, мы можем записать:
F = m * g
где m - масса тела, g - ускорение свободного падения.
Так как нам известна масса тела (0,5 кг) и ускорение свободного падения (принимаем g = 9,8 м/с²), мы можем найти коэффициент упругости пружины:
F = m * g
k * x = m * g
k = (m * g) / x
k = (0,5 кг * 9,8 м/с²) / 0,01 м
k = 49 Н/м
Теперь, когда у нас есть коэффициент упругости пружины, мы можем перейти к остальным вопросам.
1. Амплитуда (A) - это максимальное смещение тела от положения равновесия в любую сторону. В данном случае, оно равно 3 см (или 0,03 м), так как тело смещено на 3 см вниз.
A = 0,03 м
2. Циклическая частота (ω) - это скорость совершения колебаний телом. Она связана с коэффициентом упругости и массой тела следующим образом:
ω = √(k / m)
ω = √(49 Н/м / 0,5 кг)
ω = √(98 м²/с² / кг)
ω = √(98 с⁻²)
ω ≈ 9,90 с⁻¹
3. Период (T) - это время, за которое тело совершает одно полное колебание. Он связан с циклической частотой следующим образом:
T = 2π / ω
T = 2π / 9,90 с⁻¹
T ≈ 0,63 с
4. Начальная фаза (ϕ) - это фаза колебания в начальный момент времени, когда тело отпускается. В данном случае, тело отпускается ниже положения равновесия, поэтому начальная фаза равна π (пи).
ϕ = π
5. Уравнение колебаний - для гармонических колебаний можно записать уравнение следующим образом:
x(t) = A * cos(ωt + ϕ)
где x(t) - положение тела в момент времени t, A - амплитуда, ω - циклическая частота, t - время, ϕ - начальная фаза.
В данном случае, учитывая найденные значения:
x(t) = 0,03 м * cos(9,90 с⁻¹ * t + π)