Период колебаний объекта равен 24 с. Считая движение объекта во время колебания равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным), определи время, за которое объект пройдёт путь, равный 1/2 амплитуды, если в начальный момент времени объект проходил положение равновесия. (ответ округли до сотых.)
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для периода колебаний:
T = 2π√(m/k),
где T - период колебаний, m - масса объекта, k - коэффициент жёсткости пружины.
Поскольку в данной задаче нам неизвестна масса объекта и коэффициент жёсткости пружины, нам необходимо использовать другую формулу, использующую длину пружины и ускорение свободного падения:
T = 2π√(L/g),
где L - длина пружины, g - ускорение свободного падения.
Перекрестим обе формулы и выразим длину пружины:
2π√(m/k) = 2π√(L/g),
√(m/k) = √(L/g),
m/k = L/g,
Отсюда можем выразить k:
k = m(g/L).
На данном этапе нам необходимо принять во внимание, что движение объекта является равнопеременным и происходит в рамках закона Гука, т.е. справедлива формула:
F = -kx,
где F - сила, x - смещение от положения равновесия, k - коэффициент жёсткости пружины.
Мы можем выразить коэффициент жёсткости пружины через массу объекта и ускорение свободного падения:
F = -kx,
m*a = -kx,
k = -m*a/x.
Теперь, учитывая, что в начальный момент времени объект проходил положение равновесия, смещение x в формуле равно амплитуде колебаний:
k = -m*a/A,
где A - амплитуда колебаний.
Найдем ускорение a:
Так как объект является движущимся грузиком на пружине, его ускорение в точке максимального смещения (A) равно ускорению свободного падения g, тогда:
a = g.
Подставим все значения в формулу для k:
k = -m*g/A.
Теперь можем найти период колебаний:
T = 2π√(m/k),
T = 2π√(m/(-m*g/A)),
T = 2π√(-A/g).
Так как период колебаний равен 24 секундам, можем выразить амплитуду колебаний:
T = 2π√(-A/g),
24 = 2π√(-A/g),
√(-A/g) = 12/π,
-A/g = (12/π)^2.
Теперь найдем время, за которое объект пройдет путь, равный 1/2 амплитуды:
Для этого воспользуемся формулой для равномерного движения:
s = vt,
где s - путь, v - скорость, t - время.
Поскольку мы ищем время, можем выразить его:
t = s/v.
В начальный момент времени объект проходил положение равновесия, поэтому его скорость в данной точке равна нулю:
v = 0.
Таким образом, у нас остается только сила трения:
Fтр = -kx.
Теперь найдем значение силы трения в положении, где объект прошел половину амплитуды. Поскольку 1/2 амплитуды является смещением от положения равновесия:
Fтр = -k(1/2A).
Поставим модулирование, так как в задаче не указано направление силы:
|Fтр| = |k(1/2A)|.
Теперь найдем значение силы трения:
|Fтр| = |-k(1/2A)|,
|Fтр| = |-(-m*g/A)(1/2A)|,
|Fтр| = |m*g/2|.
Таким образом, мы нашли силу трения.
Теперь найдем значение ускорения:
Fтр = m*a.
После модуляции:
|Fтр| = |m*a|.
Теперь найдем ускорение:
|Fтр| = |m*a|,
|m*g/2| = |m*a|.
Подставим значения ускорения свободного падения:
|m*g/2| = |m*g|.
Таким образом, мы получили зависимость между амплитудой колебаний и силой трения.
Теперь найдем время, за которое объект пройдет путь, равный 1/2 амплитуды:
t = s/v,
t = (1/2A)/(g/2).
Выразим в виде десятичной дроби:
t = 0.5/A*2/g*2.
Теперь можем подставить значения:
t = 0.5/A*2/g*2 = 0.5/(А*9.8)*2 = 0.102/A.
Таким образом, время, за которое объект пройдет путь, равный 1/2 амплитуды, равно 0.102/A (округляем до сотых).