На концах тонкого однородного стержня длиной l и массой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Определить момент инерции J такой системы, относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления вы- полнить для случаев а, б, в, г, д, изображенных на рис. При расчетах принять l = 1 м, m = 0, 1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.
а) Первый случай изображен на рисунке а. У нас есть три массы: m, 2m и m, расположенные на одинаковом расстоянии от оси вращения O. Момент инерции каждой массы относительно оси O будет равен \(I = m \cdot r^2\), где r - расстояние от оси O до каждой массы. У первой массы оно равно l/2, у второй - 0 (так как она находится на оси вращения), и у третьей массы оно также равно l/2. Тогда момент инерции всей системы будет равен:
\(J = (m \cdot (l/2)^2) + (2m \cdot 0^2) + (m \cdot (l/2)^2) = (m \cdot (l/2)^2) + (m \cdot (l/2)^2) = 2 \cdot (m \cdot (l/2)^2) = 2 \cdot (m \cdot (l^2/4)) = (m \cdot l^2/2)\).
Итак, момент инерции для первого случая равен \(J = m \cdot l^2/2\).
б) Во втором случае, изображенном на рисунке б, расстояния от каждой массы до оси O также равны l/2 и 0. Момент инерции будет рассчитываться точно так же, и окажется таким же, как в первом случае: \(J = m \cdot l^2/2\).
в) В третьем случае, изображенном на рисунке в, массы находятся на расстояниях l и l/2 от оси O. Рассчитываем момент инерции для каждой массы: для первой массы он будет равен \(m \cdot (l/2)^2\), для второй (большой) массы - \(3m \cdot l^2\), а для третьей массы - \(m \cdot (l/2)^2\). Тогда момент инерции всей системы будет равен:
\(J = (m \cdot (l/2)^2) + (3m \cdot l^2) + (m \cdot (l/2)^2) = (m \cdot (l/2)^2) + (m \cdot (l/2)^2) + (3m \cdot l^2)\).
Сокращаем выражение и получаем:
\(J = 2 \cdot (m \cdot (l/2)^2) + 3m \cdot l^2 = 2 \cdot (m \cdot (l^2/4)) + 3m \cdot l^2 = (m \cdot l^2/2) + 3m \cdot l^2\).
Итак, момент инерции для третьего случая равен \(J = (m \cdot l^2/2) + 3m \cdot l^2\).
г) В четвертом случае, изображенном на рисунке г, массы находятся на расстояниях l и 2l от оси O. Рассчитываем момент инерции: для первой массы он будет равен \(m \cdot (2l)^2\), для второй (большой) массы - \(3m \cdot l^2\), а для третьей массы - \(m \cdot l^2\). Тогда момент инерции всей системы будет равен:
\(J = (m \cdot (2l)^2) + (3m \cdot l^2) + (m \cdot l^2) = 4m \cdot l^2 + 3m \cdot l^2 + m \cdot l^2\).
Сокращаем выражение и получаем:
\(J = 4m \cdot l^2 + 3m \cdot l^2 + m \cdot l^2 = 8m \cdot l^2\).
Итак, момент инерции для четвертого случая равен \(J = 8m \cdot l^2\).
д) В пятом случае, изображенном на рисунке д, масса распределена равномерно по всей длине стержня. Мы должны использовать формулу для момента инерции непрерывной системы, которая имеет вид \(J = \int_r^{} r^2 \cdot dm\), где r - расстояние от оси вращения до элементарного массы dm.
Для данной системы масса распределена равномерно, поэтому каждое маленькое кусочек dm будет иметь одинаковую массу. Тогда мы можем записать dm = (3m/l)dx, где dx - маленькое изменение координаты x соответствующее кусочку dm.
Также мы знаем, что расстояние r от оси O до каждого кусочка dm равно x (так как x - это расстояние от оси O до текущего кусочка dm).
Подставляем формулы в интеграл:
\(J = \int_0^l x^2 \cdot (3m/l)\)dx.
Теперь рассчитаем этот интеграл:
\(J = (3m/l) \cdot \int_0^l x^2\)dx.
Интегрируем по x:
\(J = (3m/l) \cdot [(1/3) \cdot x^3]_0^l = (3m/l) \cdot [(1/3) \cdot l^3 - (1/3) \cdot 0^3] = (3m/l) \cdot [(1/3) \cdot l^3] = m \cdot l^2\).
Итак, момент инерции для пятого случая равен \(J = m \cdot l^2\).
Значения массы m и длины стержня l в задаче равны 0.1 кг и 1 м соответственно. Подставляем их в выражения для момента инерции:
Для первого и второго случая: \(J = (m \cdot l^2)/2 = (0.1 \cdot 1^2)/2 = 0.05\) кг·м².
Для третьего случая: \(J = (m \cdot l^2)/2 + 3m \cdot l^2 = (0.1 \cdot 1^2)/2 + 3 \cdot 0.1 \cdot 1^2 = 0.05 + 0.3 = 0.35\) кг·м².
Для четвертого случая: \(J = 8m \cdot l^2 = 8 \cdot 0.1 \cdot 1^2 = 0.8\) кг·м².
Для пятого случая: \(J = m \cdot l^2 = 0.1 \cdot 1^2 = 0.1\) кг·м².
Таким образом, момент инерции системы относительно оси O в данных случаях равен:
а, б) \(J = 0.05\) кг·м²,
в) \(J = 0.35\) кг·м²,
г) \(J = 0.8\) кг·м²,
д) \(J = 0.1\) кг·м².