Question

Центр катящегося по плоскости колеса радиуса 0,5 м движется согласно уравнению s = 2t. Определить ускорение точки соприкосновения колеса с плоскостью

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение движения точки на колесе:

s = rθ

где s - путь, пройденный точкой, r - радиус колеса, θ - угол поворота колеса.

Мы знаем, что уравнение движения точки на колесе выглядит следующим образом:

s = 2t

Заменив s на rθ, получим:

rθ = 2t

Теперь нужно продифференцировать это уравнение по времени (t) для определения ускорения.

При дифференцировании rθ, мы должны помнить, что радиус колеса (r) является постоянной величиной, а значит, его производная равна нулю. Тогда:

d(rθ)/dt = d(2t)/dt

r(dθ/dt) = 2

Теперь важно заметить, что угол поворота (θ) равен пути (s), пройденному точкой, деленному на радиус колеса (r). Мы можем записать это как:

θ = s/r

Заменяя в уравнении значение θ на s/r и учитывая, что d(rθ)/dt = d(s/r)/dt, получаем:

r(d(s/r)/dt) = 2

d(s/r)/dt = 2/r

Теперь полученное равенство позволяет нам определить ускорение точки соприкосновения колеса с плоскостью:

a = d(s/r)/dt = 2/r

Мы знаем, что радиус колеса (r) равен 0,5 м, поэтому подставим значение этой величины в уравнение:

a = 2/0,5 = 4 м/с²

Таким образом, ускорение точки соприкосновения колеса с плоскостью равно 4 м/с².