Амплитуда затухающих колебаний маятника через 5 мин уменьшилась вдвое. Определить коэффициент затухания. Через какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в 8 раз?
Добрый день! Рад быть вашим школьным учителем и помочь вам разобраться в данной задаче.
Итак, для начала нам дано, что амплитуда затухающих колебаний маятника через 5 минут уменьшилась вдвое. Давайте обозначим начальную амплитуду как А₀ и амплитуду через 5 минут - А₅.
Согласно условию задачи, А₅ = (1/2) * А₀.
Теперь рассмотрим, как изменяется амплитуда с течением времени. Пусть через t минут амплитуда уменьшается в m раз. Тогда мы можем записать следующее соотношение:
А₅ = (1/m) * А₀.
Так как амплитуда затухает по экспоненциальному закону, мы можем выразить коэффициент затухания k (k > 0) через пропорцию:
А₅ = exp(-k * 5) * А₀.
Подставив сюда значение А₅ из предыдущего равенства, получим:
(1/2) * А₀ = exp(-k * 5) * А₀.
Сократив А₀ и выразив exp(-k * 5), мы можем получить следующую формулу:
exp(-k * 5) = 1/2.
Для решения этого уравнения нам пригодится натуральный логарифм. Применяя его к обоим частям уравнения, мы получим:
-k * 5 = ln(1/2).
Делим обе части уравнения на -5 и умножаем на -1:
k = -ln(1/2) / 5.
Таким образом, мы нашли коэффициент затухания k.
Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти время, через которое амплитуда уменьшится в 8 раз. Давайте обозначим это время как t₁.
Так как амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону, мы можем записать следующую пропорцию:
(1/8) * А₀ = exp(-k * t₁) * А₀.
Сократим А₀:
1/8 = exp(-k * t₁).
Применим натуральный логарифм к обоим частям уравнения:
-ln(8) = -k * t₁.
Разделим обе части уравнения на -k:
t₁ = ln(8) / k.
Теперь подставим значение k, которое мы нашли ранее:
t₁ = ln(8) / (-ln(1/2) / 5).
Распишем это выражение более подробно:
t₁ = ln(8) * (5 / ln(1/2)).
Данное выражение дает нам время, через которое амплитуда уменьшится в 8 раз.
Надеюсь, что ответ был понятен и объяснен достаточно подробно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Желаю вам успехов в учебе!
Итак, для начала нам дано, что амплитуда затухающих колебаний маятника через 5 минут уменьшилась вдвое. Давайте обозначим начальную амплитуду как А₀ и амплитуду через 5 минут - А₅.
Согласно условию задачи, А₅ = (1/2) * А₀.
Теперь рассмотрим, как изменяется амплитуда с течением времени. Пусть через t минут амплитуда уменьшается в m раз. Тогда мы можем записать следующее соотношение:
А₅ = (1/m) * А₀.
Так как амплитуда затухает по экспоненциальному закону, мы можем выразить коэффициент затухания k (k > 0) через пропорцию:
А₅ = exp(-k * 5) * А₀.
Подставив сюда значение А₅ из предыдущего равенства, получим:
(1/2) * А₀ = exp(-k * 5) * А₀.
Сократив А₀ и выразив exp(-k * 5), мы можем получить следующую формулу:
exp(-k * 5) = 1/2.
Для решения этого уравнения нам пригодится натуральный логарифм. Применяя его к обоим частям уравнения, мы получим:
-k * 5 = ln(1/2).
Делим обе части уравнения на -5 и умножаем на -1:
k = -ln(1/2) / 5.
Таким образом, мы нашли коэффициент затухания k.
Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти время, через которое амплитуда уменьшится в 8 раз. Давайте обозначим это время как t₁.
Так как амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону, мы можем записать следующую пропорцию:
(1/8) * А₀ = exp(-k * t₁) * А₀.
Сократим А₀:
1/8 = exp(-k * t₁).
Применим натуральный логарифм к обоим частям уравнения:
-ln(8) = -k * t₁.
Разделим обе части уравнения на -k:
t₁ = ln(8) / k.
Теперь подставим значение k, которое мы нашли ранее:
t₁ = ln(8) / (-ln(1/2) / 5).
Распишем это выражение более подробно:
t₁ = ln(8) * (5 / ln(1/2)).
Данное выражение дает нам время, через которое амплитуда уменьшится в 8 раз.
Надеюсь, что ответ был понятен и объяснен достаточно подробно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Желаю вам успехов в учебе!